Indukcja matematyczna i sinusy

[Maslow]

Stosując zasadę indukcji matematycznej udowodnić:

\(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} \forall_{x\in\mathbb{R}}: \left| \sin (nx)\right| \le n\left|\sin x \right|}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) oczywiście nierówność zachodzi.

Ale jak udowodnić że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\) ?

[lukasz1804]

Przyda się wzór na sinus sumy, nierówność (warunek) trójkąta i ograniczenie sinusa i kosinusa.

[Maslow]

Założenie: \(\displaystyle{ \left| \sin (nx)\right| \le n\left|\sin x \right|}\)

Teza: \(\displaystyle{ \left| \sin(nx+x)\right| \le (n+1)\left| \sin x\right|}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left| \sin (nx)\cos x + \sin x\cos (nx) \right| \le \left| n\sin x\right|+\left| \sin x\right|}\)

Z nierówności trójkąta wiemy, że:

\(\displaystyle{ \left| \sin (nx)\cos x + \sin x\cos (nx) \right| \le \left| \sin (nx)\right|\left| \cos x\right|+\left|\sin x\right|\left| \cos (nx)\right|}\)

Czyli wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \sin (nx)\right|\left| \cos x\right|+\left|\sin x\right|\left| \cos (nx)\right| \le \left| n\sin x\right|+\left| \sin x\right|}\)

Z założenia wiemy, że:

\(\displaystyle{ \left| \sin (nx)\right| \le n\left|\sin x \right|}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \left|\cos x\right| \in \left\langle 0,1\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \left| \sin (nx)\right|\left| \cos x\right| \le n\left|\sin x \right|}\) \(\displaystyle{ (1)}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \left|\cos (nx)\right| \in \left\langle 0,1\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \left| \sin x\right|\left| \cos (nx)\right| \le \left|\sin x\right|}\) \(\displaystyle{ (2)}\)

\(\displaystyle{ (1) \wedge (2) \Rightarrow \left| \sin (nx)\right|\left| \cos x\right|+\left|\sin x\right|\left| \cos (nx)\right| \le \left| n\sin x\right|+\left| \sin x\right|}\)

cbdu

Może być ?

[lukasz1804]

Tak, może być. Chociaż ładniej wygląda dowód w jednym ciągu nierówności (trudniej się pogubic): \(\displaystyle{ |\sin[(n+1)x]|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos x+\cos(nx)\sin x|\le|\sin(nx)||\cos x|+|\cos(nx)||\sin x|\le n|\sin x|\cdot 1+1\cdot|\sin x|=(n+1)|\sin x|}\)