Znaleźć wszystkie funkcje

[max123321]

\(\displaystyle{ v \in \RR^2}\) jest ustalonym wektorem niezerowym. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\RR^2 \rightarrow \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}v }\left( x,y\right)=0, \forall \left( x,y\right) \in \RR^2}\)

Jakie to będą funkcje?

[szw1710]

Brak Ci założeń regularnościowych. Uzupełnij je i wyraź pochodną kierunkową przez pochodne cząstkowe.

[max123321]

Założenia regularnościowe? Nie bardzo wiem, o czym mówisz. Znaczy ja wiem, jedynie, że te funkcje będą stałe w kierunku tego wektora \(\displaystyle{ v}\). Czyli to będą takie proste kreski, na różnych poziomach w ogólności, ale nie bardzo wiadomo co się dzieje w innych kierunkach.

[Kaf]

Ustalmy dowolny punkt \(\displaystyle{ z \in \RR^2}\). Wtedy funkcja \(\displaystyle{ g_z: \RR \rightarrow \RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ g_z(t)=f(z+tv)}\) jest różniczkowalna na całej prostej i jej pochodna \(\displaystyle{ {g'_z}(t)=\frac{\mbox{d} f}{\mbox{d} v}(z+tv)}\) jest równa zero. Wobec tego \(\displaystyle{ g_z}\) jest stała.