Znaleźć wszystkie punkty ciągłości

[max123321]

\(\displaystyle{ f:\RR^2 \rightarrow \RR}\),\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=0}\) gdy \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \frac{\left| \frac{y}{x^2} \right| }{e^{\left| \frac{y}{x^2} \right| }}}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Jak się do tego zabrać?

[a4karo]

Rozpatrz osobno punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) i punkty postaci \(\displaystyle{ (0,y), \ y\neq 0}\). W pozostałych nie ma problemu

[max123321]

No i o to mi chodziło.
Dobra to tak:
Jeśli \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0,y_n \rightarrow y}\) to niech \(\displaystyle{ t= \frac{y_n}{x_n^2} \rightarrow +\infty}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}}\) i to się równa z dh (chyba można tak?) \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t}=0}\) zatem w punktach \(\displaystyle{ \left( 0,y\right)}\) jest ciągła. Czy uzasadnienie jest dobre?

No dobra i \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\). Weźmy ciągi \(\displaystyle{ x_n=1/n,y_n=1/(n^2)}\) wówczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^1}=1/e \neq 0}\) czyli nieciągła.

Reasumując jest wszędzie ciągła poza \(\displaystyle{ (0,0)}\) ta?

[Premislav]

Zgadza się, poza szczegółem, że w przypadku \(\displaystyle{ x_n\rightarrow 0, \ y_n\rightarrow y, y\neq 0}\) to \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{y_n}{x_n^2}\right| =+\infty}\), bez modułu to jeszcze zależy od znaku \(\displaystyle{ y}\) (ale rozumowania to nie zmienia, bo moduł mamy)
i poza błędem w zapisie (ale to akurat pewnie przypadkowe):

\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty}= \frac{1}{e^t}}\)

[max123321]

No ta racja powinienem był napisać:
\(\displaystyle{ t= \left| \frac{y_n}{x_n^2}\right| \rightarrow +\infty}\), jakoś nonszalancko opuściłem ten moduł.

No i te "równa się" wkradło niepotrzebnie. Poprawiłem.

A to z reguły dh można? Bo niby mamy naturalne?

[Premislav]

A to z reguły dh można? Bo niby mamy naturalne?

A można, jak najbardziej, jeszcze jak.
Żeby to było w pełni poprawne, należałoby się jeszcze powołać na definicję Heinego granicy funkcji (skoro dla każdego ciągu coś takiego będzie zachodzić, to oczywiście dla tego Twojego ciągu też).

-- 27 paź 2017, o 16:50 --

Ale myślę, że gdyby na trzecim semestrze napisać bez uzasadnienia, że
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }\frac{t}{e^t}=0}\), to też nic by się nie stało, bo to jest znana granica,
którą się omawia na pierwszym semestrze (chociaż to zależy pewnie od prowadzącego).

[max123321]

Ale poczekaj wytłumacz mi to.
Bo jak mamy zwykłe \(\displaystyle{ t \in \RR}\) i \(\displaystyle{ t}\) leci po rzeczywistych to można oczywiście z dh
zrobić to:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t}=0}\), ale tutaj przecież \(\displaystyle{ t=\left| \frac{y_n}{x_n^2}\right|}\) i to też należy do rzeczywistych, ale tak naprawdę to to jest granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left| \frac{y_n}{x_n^2}\right|}\), więc jakby "omijamy" niektóre punkty, a to chyba musi być ciągłe.

A mówisz o tej definicji Heinego, a no w sumie racja. Ale skąd wiesz, że dla każdego ciągu to będzie zachodzić? Bo przecież ta granica nie musi w ogóle istnieć.

[Premislav]

No to jeszcze raz: pokazujemy z de l'Hospitala, że
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=0}\) (jak to wyżej zrobiłeś), zaś następnie możemy skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji:
skoro \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=0}\), to dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (t_n)}\)
spełniającego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } t_n=+\infty}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{t_n}{e^{t_n}}=0}\).
W szczególności możemy wziąć
\(\displaystyle{ t_n=\left| \frac{y_n}{x_n^2} \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y, \ y\neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ x_n\rightarrow 0, x_n\neq 0}\).

-- 29 paź 2017, o 07:36 --

Definicja Heinego jest pewną równoważnością, a my tu po policzeniu tej granicy niewłaściwej korzystamy z implikacji w jedną stronę.

[max123321]

No ta racja. To jest tak jakby najpierw należało policzyć granicę dla zmiennej rzeczywistej i z tego wyciągnąć wniosek dla ciągu. Ok.