równanie z parametrem

[K4rol]

dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) równanie posiada rozwiązanie

\(\displaystyle{ \frac{3}{ \left( \frac{1}{3} \right) ^{x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{2x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{3x}+...}=\frac{2-m}{m^{2}-1}}\)

\(\displaystyle{ m \neq \left\{-1;1\right\}}\)


po uproszczeniu dostaję

\(\displaystyle{ 3^{x+1}-3=\frac{2-m}{m^{2}-1}}\)

asymptota pozioma funkcji wymiernej to

\(\displaystyle{ y=-3}\)

zatem musi być

\(\displaystyle{ \frac{2-m}{m^{2}-1}>-3}\)

aby równanie miało rozwiązanie

z tego dostaję

\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-1 \right) \cup \left( \frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6} \right) \cup \left( 1;+ \infty \right)}\)

to czego w takim razie w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-1 \right) \cup \left( 1;2 \right)}\)

[Jan Kraszewski]

Zapomniałeś o tym, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \right) ^{x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{2x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{3x}+...}\) nie zawsze da się wysumować - potrzeba ograniczenia na iloraz. To ograniczenie da Ci ograniczenie na \(\displaystyle{ x}\), to z kolei na wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3^{x+1}-3}\). Ostatecznie będziesz miał do rozwiązania nierówność

\(\displaystyle{ \frac{2-m}{m^{2}-1}>0}\)

i otrzymasz taką odpowiedź, jak w książce.

JK

[K4rol]

yhm, no rzeczywiście zapomniałem o tym szczególe
\(\displaystyle{ |q|<1}\)