maksymalna wartość ułamka
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ola
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 5 razy
maksymalna wartość ułamka
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą nieujemne oraz takie że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=a+b+c}\) oraz \(\displaystyle{ c>0}\). Wyznaczyc maksymalną wartość \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}.}\)
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 19:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: maksymalna wartość ułamka
A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).
Zostaje mam maksymalizacja \(\displaystyle{ f(a,c)=a+c}\) przy warunku \(\displaystyle{ a^2+c^2=a+c}\) warunek ten można by traktować jak równanie okręgu \(\displaystyle{ \left( a- \frac{1}{2} \right)^2+\left( c- \frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{2}}\)
A to już mnożnikami Lagrange'a lub zwykłą metodą powinno pójść gładko.
Zostaje mam maksymalizacja \(\displaystyle{ f(a,c)=a+c}\) przy warunku \(\displaystyle{ a^2+c^2=a+c}\) warunek ten można by traktować jak równanie okręgu \(\displaystyle{ \left( a- \frac{1}{2} \right)^2+\left( c- \frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{2}}\)
A to już mnożnikami Lagrange'a lub zwykłą metodą powinno pójść gładko.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: maksymalna wartość ułamka
Moim zdaniem mnożniki Lagrange'a to przesada w tym wypadku.
\(\displaystyle{ (a+c)^2\le 2(c^2+a^2)=2(a+c)}\), więc \(\displaystyle{ a+c\le 2}\), równość dla \(\displaystyle{ a=c=1}\).
Czyli ogólnie przy założeniach zadania mamy
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} \le 2}\) i równość dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(1,0,1)}\).
\(\displaystyle{ (a+c)^2\le 2(c^2+a^2)=2(a+c)}\), więc \(\displaystyle{ a+c\le 2}\), równość dla \(\displaystyle{ a=c=1}\).
Czyli ogólnie przy założeniach zadania mamy
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} \le 2}\) i równość dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(1,0,1)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22209
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: maksymalna wartość ułamka
Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Re: maksymalna wartość ułamka
Zgadzam się z opinią.a4karo pisze:Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).