Równości trygonometryczne

[lukasz_xyz]

Niech \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8} = x}\). Prawdziwe są następujące zależności:

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = x}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{7\pi}{8} = x}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{15\pi}{8} = x}\)

Jak mam się zabrać za to zadanie? Jeżeli mogę prosić to same wskazówki bez rozwiązań na początek.

Próbowałem zamienić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) na miarę kątową i wtedy porównać ale to chyba nie tędy droga.

[a4karo]

Wzory redukcyjne

[lukasz_xyz]

Wzory redukcyjne

Chyba czas się przyznać... Tak jak potrafię doskonale stosować wzory redukcyjne w mierze kątowej tak w łukowej patrzę i nie wiem co mam robić. Chyba dlatego, że nie wychodziła mi zamiana na kątową to z góry zrezygnowałem z tego zadania.

[a4karo]

\(\displaystyle{ 90^\circ=\frac{\pi} {2}}\)

[lukasz_xyz]

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?

#edit

Nawet jeżeli podpunkt a policzyłem dobrze tak z drugim mi zupełnie nie wychodzi. Mógłby ktoś pokazać krok po kroku na jakimkolwiek przykładzie jak to robić?

Próbowałem wykorzystać proporcję, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - 90^\circ}\)

\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8} - x}\)

Ale z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{315^\circ}{2}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?

Nie.

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} =\sin \left( \frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8}}\)

Próbowałem wykorzystać proporcję, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - 90^\circ}\)

\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8} - x}\)

Ale z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{315^\circ}{2}}\)

Ale przeliczanie wszystkich kątów na stopnie ma mały sens. Powinieneś zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8}=\pi-\frac{\pi}{8}}\).

JK

[lukasz_xyz]

Wpadłem na jakiś pomysł ale nie wiem czy dobry...

A. \(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{8}}\)

Czy teraz jest dobrze?

-- 26 paź 2017, o 19:47 --

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?

Nie.

\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} =\sin \left( \frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8}}\)

Nie zauważyłem Pana odpowiedzi, przepraszam. Czy cosinus nie powinien być ujemny? \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\) to II ćwiartka prawda? A tam cosinus ujemny.

[Jan Kraszewski]

Czy cosinus nie powinien być ujemny?

Nie.

\(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\) to II ćwiartka prawda? A tam cosinus ujemny.

Ale przecież w drugiej ćwiartce masz sinusa, a nie cosinusa.

JK

[lukasz_xyz]

Czyli chcąc ustalić znak mam patrzeć na funkcję początkową i wtedy decydować o znaku funkcji wyjściowej tak?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[lukasz_xyz]

To już tylko ostatnie pytanie żeby upewnić się, że na pewno to rozumiem.

Czy dobrze rozwiązałem pozostałe przypadki?

\(\displaystyle{ B: \sin\frac{7\pi}{8} = \sin \left( \frac{4\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)

\(\displaystyle{ C: \sin\frac{15\pi}{8} = \sin \left( \frac{12\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)

Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?

Faktycznie niepotrzebnie, przepraszam
PS Bardzo dziękuję za wyjaśnienie poprzedniego podpunktu @Jan Kraszewski

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ B: \sin\frac{7\pi}{8} = \sin \left( \frac{4\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ C: \sin\frac{15\pi}{8} = \sin \left( \frac{12\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)

Źle, sinus w czwartej ćwiartce jest ujemny, więc

\(\displaystyle{ \sin\frac{15\pi}{8}= \red-\black \cos \frac{3\pi}{8}}\).

JK

[kinia7]

Trzeba wkuć:
\(\displaystyle{ \ \blue\fbox{\fbox{\ \mbox{w pierwszej wszystkie, w drugiej tylko sinus,\ w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus}\ }}}\)

ta nieśmiertelna rymowanka mówi o tym, w której ćwiartce \(\displaystyle{ 360^o}\) która funkcja jest dodatnia
pierwsza ćwiartka jest wtedy, gdy kąt jest \(\displaystyle{ \ (90^o-\beta)}\)
druga ćwiartka - \(\displaystyle{ \ (90^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (180^o-\beta)}\)
trzecia - \(\displaystyle{ \ (180^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (270^o-\beta)}\)
czwarta - \(\displaystyle{ \ (270^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (0^o-\beta)}\)
przy czym nie ma znaczenia wielkość ani znak samego \(\displaystyle{ \ \beta}\)
to nam mówi jaki znak przyjmie funkcja lub kofunkcja po zredukowaniu kąta \(\displaystyle{ \ 90^o,\ 180^o,\ lub\ 270^o}\)
przy redukowaniu kąta \(\displaystyle{ 90^o}\) lub \(\displaystyle{ 270^o}\) funkcja zmienia się na kofunkcję, tzn. \(\displaystyle{ \sin\ \to\ \cos,\ \ \tg\ \to\ \ctg}\) i odwrotnie

przykład
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)}\)
kąt jest w trzeciej ćwiartce, w której cosinus jest ujemny, czyli będzie znak minus
redukujemy kąt \(\displaystyle{ \ 270^o}\) więc funkcja zmieni się na przeciwną
ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)=-\sin3241^o}\)