Cześć, mam zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f: \RR^{n} \rightarrow \RR}\) jest różniczkowalna oraz \(\displaystyle{ f(0)=0}\) to istnieją funkcje \(\displaystyle{ h_{i}}\), że \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{i=1}^{n} x_{i} h _{i}(x)}\). Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ g_{x}(t) =f(tx)}\) to \(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1} h'_{x}(t) dt}\).
Proszę o pomoc -- 26 paź 2017, o 20:52 --Pomoże ktoś?
Funkcja różniczkowalna
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 1 sty 2017, o 20:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
Funkcja różniczkowalna
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 18:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Funkcja różniczkowalna
1.
Dla dowolnego
\(\displaystyle{ \textbf x\in \textbf R^{n}}\) niech \(\displaystyle{ h: \textbf R\rightarrow \textbf R \ \ h(t) = t\cdot \textbf x.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g:\textbf R \rightarrow \textbf R , \ \ g = f \circ h.}\)
Na podstawie reguły łańcuchowej:
\(\displaystyle{ g'(1) = f'(x)\cdot h'(1) = \sum_{i=1}^{n} x^{i}D_{i}f(x).}\)
Pochodna funkcji \(\displaystyle{ h_{x}(t)}\)
\(\displaystyle{ h'_{x}(t) = \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t \textbf x).}\)
Całka pojedyńcza jest operatorem liniowym, więc
\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{1}h'_{x}(t) = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t\textbf x)=
=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt = \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}(x),}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h_{i}(x) = \int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt.}\)
c.b.d.o.
Dla dowolnego
\(\displaystyle{ \textbf x\in \textbf R^{n}}\) niech \(\displaystyle{ h: \textbf R\rightarrow \textbf R \ \ h(t) = t\cdot \textbf x.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g:\textbf R \rightarrow \textbf R , \ \ g = f \circ h.}\)
Na podstawie reguły łańcuchowej:
\(\displaystyle{ g'(1) = f'(x)\cdot h'(1) = \sum_{i=1}^{n} x^{i}D_{i}f(x).}\)
Pochodna funkcji \(\displaystyle{ h_{x}(t)}\)
\(\displaystyle{ h'_{x}(t) = \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t \textbf x).}\)
Całka pojedyńcza jest operatorem liniowym, więc
\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{1}h'_{x}(t) = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t\textbf x)=
=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt = \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}(x),}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h_{i}(x) = \int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt.}\)
c.b.d.o.