Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2

[Stefaniak1916]

Treść zadania:
n należy do zbioru liczb naturalnych. Wykaż czy dla każdej liczby n iloczyn liczb
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right)}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{5}{2}.}\)
Witam, serdecznie proszę o pomoc o rozwiązanie zadania.

[a4karo]

Pomnóż lewą stronę przez \(\displaystyle{ \frac{5-1}{5}}\) i zauważ jak to się ładnie teleskopuje

[Premislav]

Ale to jest ładny pomysł, nie wpadłem na to.
Można też użyć nierówności
\(\displaystyle{ 1+x < e^x, x \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac 1 {5^k}, k=1, 2, 4\ldots 2n}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) <e^{ \frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{5^{2n}} }<e^{\frac 1 4}<\frac 5 2}\),
ale powyższa sztuczka a4karo zjada ten sposób jak nic.

[Stefaniak1916]

Dziękuję,
czyli odopowiednio przekszgałcając mamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < \frac{5}{2}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{5-1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{(5+1)(5-1)}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < 2}\)
Przepraszam, ale moglibyście dalej mi poradzić jak to przekształcić?

[a4karo]

A wzory skróconego mnożenia?

[timon92]

zapomnij o pomyśle a4karo, to się nie teleskopuje

teleskopowałoby się, gdyby ten iloczyn tak wyglądał \(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right)\left( \frac{5^{8}+1}{5^{8}} \right) \ldots \left( \frac{5^{2^n}+1}{5^{2^n}} \right)}\)

[a4karo]

Fakt, ale tak jak jest to też nie za bardzo wiadomo jak ten iloczyn wygląda: \(\displaystyle{ 1,2,4,???,2n}\)

[Premislav]

Faktycznie.
Za to nierówność \(\displaystyle{ 1+x<e^x}\) jak najbardziej działa, niezależnie od tego, jak zdefiniowano ten iloczyn (zadziała nawet jeśli tam powinny być kolejne potęgi od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2^n}\), co \(\displaystyle{ 1}\)).

[Stefaniak1916]

przeciez ten iloczyn ma postać jak napisał Timon92

[a4karo]

przeciez ten iloczyn ma postać jak napisał Timon92

Ale w oryginalnym zadaniu zamiast \(\displaystyle{ 5^{2^n}}\) napisałeś \(\displaystyle{ 5^{2n}}\) i dlatego Timon92 napisał to, co napisał.

[Stefaniak1916]

Najmocniej przepraszam za pomyłkę, już rozumiem rozwiązanie, dziękuję serdecznie.