Dzielenie wielomianu przez wielomian ...

[lukasz_xyz]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2}\)

Wynikiem dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+ax+b}\) jest \(\displaystyle{ x+2}\) z resztą \(\displaystyle{ x+2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a = 0, b = -2}\)

Prawda czy fałsz (jak sprawdzić?)

----------------------------------------------------------------

Napisałem sobie, że\(\displaystyle{ (x^{3} + 2x^{2} - x - 2)(x+2) = x^{2}+ax+b}\)

Podstawiłem do schematu Hornera \(\displaystyle{ -2}\) i rozłożyłem na czynniki ten wielomian W(x) i wyszło mi

\(\displaystyle{ (x+2)(x-1)(x+1)}\) ale nie wiem co mi to dało.

[a4karo]

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x+2)+x+2}\)
Wymnóz i porównaj współczynniki

[lukasz_xyz]

\(\displaystyle{ x^{3}+x^2(2+a)+x(2a+1+b)+2b+2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2+a=2 \\ a=0 \end{cases} \begin{cases} 2a+1+b=-1 \\ b=-2 \end{cases} \begin{cases} 2b+2=-2 \\ b=-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=-2 \end{cases}}\)

Czyli wynikiem dzielenia jest \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=-2}\).

I nie do końca wiem skąd ten zapis:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x+2)+x+2}\)

Czytam te zadanie i nie wiem dlaczego tak.

[a4karo]

Wynikiem z dzielenia \(\displaystyle{ \red 13}\) przez \(\displaystyle{ \green 5}\) jest \(\displaystyle{ \blue 2}\) z resztą \(\displaystyle{ \brown 3}\):
\(\displaystyle{ 13=5\cdot 2+3}\)

Wynikiem dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ \red W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ \green x^{2}+ax+b}\) jest \(\displaystyle{ \blue x+2}\) z resztą \(\displaystyle{ \brown x+2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x+2)+x+2}\)


Jak wyszło, że \(\displaystyle{ b}\) ma jednocześnie dwie wartości, to znaczy, że dostałeś sprzeczność.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2b+2=\red 1\black \\ b=- \frac{1}{2} \end{cases}}\)

A to czerwone to skąd?

JK

[lukasz_xyz]

Już poprawiłem. Teraz powinno być dobrze. Dziękuję

[a4karo]

Liczbę poprawiłes, and komentarza już nie. Więcej uwagi!

[lukasz_xyz]

Każdy wie o co chodzi jak spojrzy na te układy. Czasami nie chce się operować w tym latexie

[a4karo]

Czyli wynikiem dzielenia nie jest \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=-2}\), ponieważ \(\displaystyle{ b}\) może być także \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}?}\)

Przyznasz, że w tym tekście dużo \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\) nie ma a tekst jest bez sensu w świetle poprawionych działań. No ale skoro to zbyt skomplikowane...

Inna sprawa, że warunki, które maja być spełnione jednocześnie zwyczajowo zapisujemy w jednym nawiasie klamrowym (to się nazywa ukłąd równań).
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2+a=2 \\ 2a+1+b=-1 \\ 2b+2=-2 \end{cases}}\)


Inna metoda rozwiązania jest taka:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x+2)+x+2 \Rightarrow \\
x^{3} + 2x^{2} - x - 2=(x^2+ax+b)(x+2)+x+2 \Rightarrow \\
x^{2}(x + 2) -2( x + 2)=(x^2+ax+b)(x+2) \Rightarrow \\
(x+2)(x^2-2)=(x^2+ax+b)(x+2) \Rightarrow \\
x^2-2=x^2+ax+b \Rightarrow \\
a=0,\ b=-2}\)

[lukasz_xyz]

Przyznasz, że w tym tekście dużo \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\) nie ma a tekst jest bez sensu w świetle poprawionych działań. No ale skoro to zbyt skomplikowane...

W tym komentarzu faktycznie nie ma go dużo ale w poprzednim, który poprawiłem było go więcej dlatego też zwróciłem uwagę tylko na istotne działania a nie na sam komentarz (poprawię go za chwilę skoro to tak bardzo istotne).

Inna sprawa, że warunki, które maja być spełnione jednocześnie zwyczajowo zapisujemy w jednym nawiasie klamrowym (to się nazywa ukłąd równań).

Faktycznie dużo lepiej by to wyglądało ale przepisywałem bezpośrednio tak jak rozwiązałem to na kartce dlatego to wygląda tak jak wygląda .

Inna metoda rozwiązania jest taka:

Dziękuję bardzo .

#edit
Nie wiem dlaczego ale tych starych postów nie mogę edytować więc moje chęci na nic .

[Jan Kraszewski]

Nie wiem dlaczego ale tych starych postów nie mogę edytować więc moje chęci na nic .

Jest ograniczony czas na taką edycję. Zresztą lepiej napisać nowy post z poprawioną wersją, bo takie poprawianie sprawia, że nie bardzo wiadomo, o co chodzi w dyskusji.

Ten komentarz już poprawiłem.

JK