Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Treść zadania:
n należy do zbioru liczb naturalnych. Wykaż czy dla każdej liczby n iloczyn liczb
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right)}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{5}{2}.}\)
Witam, serdecznie proszę o pomoc o rozwiązanie zadania.
n należy do zbioru liczb naturalnych. Wykaż czy dla każdej liczby n iloczyn liczb
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right)}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{5}{2}.}\)
Witam, serdecznie proszę o pomoc o rozwiązanie zadania.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 22:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Ale to jest ładny pomysł, nie wpadłem na to.
Można też użyć nierówności
\(\displaystyle{ 1+x < e^x, x \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac 1 {5^k}, k=1, 2, 4\ldots 2n}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) <e^{ \frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{5^{2n}} }<e^{\frac 1 4}<\frac 5 2}\),
ale powyższa sztuczka a4karo zjada ten sposób jak nic.
Można też użyć nierówności
\(\displaystyle{ 1+x < e^x, x \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac 1 {5^k}, k=1, 2, 4\ldots 2n}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) <e^{ \frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{5^{2n}} }<e^{\frac 1 4}<\frac 5 2}\),
ale powyższa sztuczka a4karo zjada ten sposób jak nic.
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Dziękuję,
czyli odopowiednio przekszgałcając mamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < \frac{5}{2}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{5-1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{(5+1)(5-1)}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < 2}\)
Przepraszam, ale moglibyście dalej mi poradzić jak to przekształcić?
czyli odopowiednio przekszgałcając mamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < \frac{5}{2}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{5-1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{(5+1)(5-1)}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right) ... \left( \frac{5^{2n}+1}{5^{2n}} \right) < 2}\)
Przepraszam, ale moglibyście dalej mi poradzić jak to przekształcić?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
zapomnij o pomyśle a4karo, to się nie teleskopuje
teleskopowałoby się, gdyby ten iloczyn tak wyglądał \(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right)\left( \frac{5^{8}+1}{5^{8}} \right) \ldots \left( \frac{5^{2^n}+1}{5^{2^n}} \right)}\)
teleskopowałoby się, gdyby ten iloczyn tak wyglądał \(\displaystyle{ \left( \frac{5+1}{5}} \right) \left( \frac{5^{2}+1}{5^{2}} \right) \left( \frac{5^{4}+1}{5^{4}} \right)\left( \frac{5^{8}+1}{5^{8}} \right) \ldots \left( \frac{5^{2^n}+1}{5^{2^n}} \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Fakt, ale tak jak jest to też nie za bardzo wiadomo jak ten iloczyn wygląda: \(\displaystyle{ 1,2,4,???,2n}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Faktycznie.
Za to nierówność \(\displaystyle{ 1+x<e^x}\) jak najbardziej działa, niezależnie od tego, jak zdefiniowano ten iloczyn (zadziała nawet jeśli tam powinny być kolejne potęgi od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2^n}\), co \(\displaystyle{ 1}\)).
Za to nierówność \(\displaystyle{ 1+x<e^x}\) jak najbardziej działa, niezależnie od tego, jak zdefiniowano ten iloczyn (zadziała nawet jeśli tam powinny być kolejne potęgi od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2^n}\), co \(\displaystyle{ 1}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
przeciez ten iloczyn ma postać jak napisał Timon92
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Ale w oryginalnym zadaniu zamiast \(\displaystyle{ 5^{2^n}}\) napisałeś \(\displaystyle{ 5^{2n}}\) i dlatego Timon92 napisał to, co napisał.Stefaniak1916 pisze:przeciez ten iloczyn ma postać jak napisał Timon92
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Wykaż czy iloczyn tych liczb jest mniejszy od 5/2
Najmocniej przepraszam za pomyłkę, już rozumiem rozwiązanie, dziękuję serdecznie.