Wnętrze i domknięcie zbioru

[alchem]

Hej mam pewien problem.
Znaleźć przykład zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), dla którego zbiory: \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A)),Cl(Int(A)),Int(Cl(Int(A))),Cl(Int(Cl(A)))}\) są parami różne, może nie chcę od razu odpowiedzi a jedynie jakąś wskazówkę.

[Jan Kraszewski]

Może zacznij mniej ambitnie: najpierw dla dwóch, potem dla trzech itd.

JK

[a4karo]

Jako ciekawostkę warto dodać, że w ten sposób (tzn. korzystając z operacji domykania i brania wnętrza) można dostać najwyżej \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów (Kuratowski)

EDIT: nie. \(\displaystyle{ 14}\) zbiorów dostajemy stosując operacje domykania i dopełnienia.

[alchem]

Dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A)}\) to żadna sztuka, ale dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A))}\) od razu pojawia się problem, może polega on na tym, że nie mogę uciec poza \(\displaystyle{ \RR^2}\) w swoich rozważaniach albo uparcie patrzę na metrykę euklidesową, nie mam pojęcia.

[a4karo]

Da się to zrobić na prostej

[Dasio11]

Jako ciekawostkę warto dodać, że w ten sposób (tzn. korzystając z operacji domykania i brania wnętrza) można dostać najwyżej \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów (Kuratowski)

A nie domykania i dopełniania? Wydaje mi się, że wypisane przez autora tematu zbiory wyczerpują wszystkie możliwości, a to dopiero \(\displaystyle{ 7.}\)

[a4karo]

Tak, masz rację. W zadaniu Kuratowskiego chodziło o operacje domykania i dopełniania. Przepraszam.

[alchem]

W tej chwili nie mam pojęcia co to może być, ale noc jeszcze długa.
Jak rano już nic nie wymyślę, to będę zmuszony prosić o gotowca.

[a4karo]

Dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A)}\) to żadna sztuka, ale dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A))}\) od razu pojawia się problem, może polega on na tym, że nie mogę uciec poza \(\displaystyle{ \RR^2}\) w swoich rozważaniach albo uparcie patrzę na metrykę euklidesową, nie mam pojęcia.

A co powiesz na \(\displaystyle{ A=\QQ}\)?

[leg14]

\(\displaystyle{ cl(\QQ) = int(cl(\QQ))}\).
Ja proponuję Ci wziąć sumę paru przedziałów - jednego otwartego, jednego domkniętego, jednego przedziału z wyrzuconym punktem

[alchem]

A co powiesz na \(\displaystyle{ A=\QQ}\)?

Wtedy:
\(\displaystyle{ Int(A) = \emptyset \\ Cl(A)= \RR\\
Int(Cl(A))=Int(\RR)=\RR}\)
Więc już nie są parami różne, tak jak leg14 zauważył.

Ja proponuję Ci wziąć sumę paru przedziałów - jednego otwartego, jednego domkniętego, jednego przedziału z wyrzuconym punktem

\(\displaystyle{ A=[a,b] \cup (c,d) \cup \left( (e.f] \setminus \{g\}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b...,g \in \QQ}\), różne
\(\displaystyle{ Int(A)=(a,b) \cup (c,d) \cup (e,g) \cup (g,f)\\
Cl(A)=[a,b] \cup [c,d] \cup [e,f] \\
Int(Cl(A))=(a,b) \cup (c,d) \cup (e,f)\\
Cl(Int(A))=[a,b] \cup [c,d] \cup [e,f] = Cl(A)}\)

Dla tych czterech się zgadza, dalej już lipa.

[a4karo]

Ale jak weźmiesz \(\displaystyle{ (a,b)\cap \QQ}\) to ...

[alchem]

Do zbioru wyżej dodałem rozłączny pkt \(\displaystyle{ h}\) i jest już 5 różnych, zostały jeszcze dwa...

Ale jak weźmiesz \(\displaystyle{ (a,b)\cap \QQ}\) to ...

Już to analizuję.

[a4karo]

Albo \(\displaystyle{ (a,b]\cap \QQ}\)

[alchem]

Chyba czegoś nie rozumiem, jeśli wezmę nawet taki przedział jak mój z iloczynem liczb wymiernych, to wnętrze będzie zbiorem pustym, i mamy \(\displaystyle{ Int(A)= \emptyset = Cl(Int(A))}\)