Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
Witam,
Zadanie: Trójkąt prostokątny, przyprostokątna równa 12 i 9. Obliczyć pole kwadratu zawartego w tym trójkącie, gdzie bok kwadratu jest oparty na przeciwprostokątnej.
Widzę 4 trójkąty podobne i obliczyłem przeciwprostokątną, która jest równa 15 ale nie wiem co dalej
Zadanie: Trójkąt prostokątny, przyprostokątna równa 12 i 9. Obliczyć pole kwadratu zawartego w tym trójkącie, gdzie bok kwadratu jest oparty na przeciwprostokątnej.
Widzę 4 trójkąty podobne i obliczyłem przeciwprostokątną, która jest równa 15 ale nie wiem co dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 22:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
Oznacz bok kwadratu jako \(\displaystyle{ a}\) i za pomocą podobieństwa trójkątów(funkcji trygonometrycznych) wyznacz długości poszczególnych odcinków w zależności od \(\displaystyle{ a}\). Np dwa odcinki na która zostanie podzielona przyprostokątna o długości \(\displaystyle{ 9}\). I z tego wyznaczysz wartość \(\displaystyle{ a}\).
Pozdrawiam!
Pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
A ja mam taki pomysł: (warto spojrzeć na rysunek)
Niech bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 5x}\) a jego pole to??
Wtedy boki trójkącika przy kącie prostym sa równe \(\displaystyle{ 3x}\) i \(\displaystyle{ 4x}\), a jego pole to ??
Jak przesuniemy do siebie dwa trójkąty prostokątne przy wierzchołkach trójkąta, to dostaniemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 15-5x}\). Jego pole zatem stanowi \(\displaystyle{ \left(\frac{15-5x}{15}\right)^2}\) wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz jego pole, czyli sumę pól trójkątów przy wierzchołkach.
Suma pól tych dwóch trójkątów, trójkąta przy kącie prostym i kwadratu muszą dać w sumie pole wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz \(\displaystyle{ x}\)
Niech bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 5x}\) a jego pole to??
Wtedy boki trójkącika przy kącie prostym sa równe \(\displaystyle{ 3x}\) i \(\displaystyle{ 4x}\), a jego pole to ??
Jak przesuniemy do siebie dwa trójkąty prostokątne przy wierzchołkach trójkąta, to dostaniemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 15-5x}\). Jego pole zatem stanowi \(\displaystyle{ \left(\frac{15-5x}{15}\right)^2}\) wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz jego pole, czyli sumę pól trójkątów przy wierzchołkach.
Suma pól tych dwóch trójkątów, trójkąta przy kącie prostym i kwadratu muszą dać w sumie pole wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz \(\displaystyle{ x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
wychodzi równo? bo mi wyszło, że \(\displaystyle{ 37a=180}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym
Czy ja tego nie napisałem?Elayne pisze:Kod: Zaznacz cały
http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/SqInscrTri/HintInscribe.html
Tak. Bok tego kwadratu to \(\displaystyle{ 180/37}\)
-- 27 paź 2017, o 05:02 --
Metoda analityczna tez daje szybko wynik:
Umieśćmy trójkąt w układzie współrzędnych. Jego wierzchołki to \(\displaystyle{ A=(12,0), B=(0,9), C=(0,0)}\)
Przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ 3x+4y=36}\)
Weźmy wierzchołek szukanego kwadratu leżący na osi OX \(\displaystyle{ P=(4t,0), \ 0<t<3}\) (to \(\displaystyle{ 4t}\) to taka sztuczka, żeby uniknąć ułamków). Jego kolega na osi OY ma współrzędne \(\displaystyle{ Q=(0,3t)}\) a ich odległośc to \(\displaystyle{ 5t}\). Musi ona sie równać odległości \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ AC}\), stąd równanie
\(\displaystyle{ 5t=\frac{|12t-36|}{5}=\frac{36-12t}{5}}\)
skąd \(\displaystyle{ t=\frac{36}{37}}\), a szukany bok to \(\displaystyle{ 5t=\frac{180}{37}}\)