zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 12 wrz 2017, o 18:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 16 razy
zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Hejka . Mam następujące polecenie.
Wyznacz zbiór wartości funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)
I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.
Wyznacz zbiór wartości funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)
I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
A od kiedy taka magia obowiązuje:
\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)=\sin^{2} x-\cos ^{2}x}\)
? Chyba, że tam w nawiasie powinien być \(\displaystyle{ +}\).
\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)=\sin^{2} x-\cos ^{2}x}\)
? Chyba, że tam w nawiasie powinien być \(\displaystyle{ +}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 12 wrz 2017, o 18:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 16 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 12 wrz 2017, o 18:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 16 razy
zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Wyznacz zbiór wartości funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)
I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)
I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Ja bym zauważył, że
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{-\cos2x}.}\)
JK
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{-\cos2x}.}\)
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Zauważ że \(\displaystyle{ \sin ^2x-\cos ^2x=-\cos 2x}\) czyli \(\displaystyle{ f=- \frac{1}{\cos 2x}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ -1\le \cos 2x \le 1}\) to \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ -1\le \cos 2x \le 1}\) to \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\)
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 18:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 12 wrz 2017, o 18:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 16 razy
Re: zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Ale właśnie nie wiem skąd to się bierze. Ok mamJanusz Tracz pisze: Ponieważ \(\displaystyle{ -1\le \cos 2x \le 1}\) to \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\)
\(\displaystyle{ -1 \le \cos 2x \le 1.}\)
Dalej mnożąc przez \(\displaystyle{ (-1)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge -\cos 2x \ge -1}\)
Dlaczego stąd wynika, że \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\). Jakie operacje tutaj zachodzą?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Zrobiłem błąd
Powinno być \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight]{
ed{ cup }}left[1, infty
ight)}\).
Bierze się to z rozpatrzenia kilku przypadków.
dla \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i "odpowiednich" \(\displaystyle{ x}\)
1) mamy \(\displaystyle{ \epsilon<\cos 2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{\epsilon}> \frac{1}{\cos 2x} \ge 1}\)
2) ale mamy też \(\displaystyle{ -1 \le \cos 2x <-\epsilon \Rightarrow -1 \le \frac{1}{\cos 2x}<- \frac{1}{\epsilon}}\).
Teraz ponieważ \(\displaystyle{ \epsilon}\) był dowolny to dajemy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^{+}}\) co daje wynik.
Można też patrzeć na to jak na "wywinięcie" zbioru \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) i znalezienie do każdego elementu tego zbioru elementu odwrotnego.
Powinno być \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight]{
ed{ cup }}left[1, infty
ight)}\).
Bierze się to z rozpatrzenia kilku przypadków.
dla \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i "odpowiednich" \(\displaystyle{ x}\)
1) mamy \(\displaystyle{ \epsilon<\cos 2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{\epsilon}> \frac{1}{\cos 2x} \ge 1}\)
2) ale mamy też \(\displaystyle{ -1 \le \cos 2x <-\epsilon \Rightarrow -1 \le \frac{1}{\cos 2x}<- \frac{1}{\epsilon}}\).
Teraz ponieważ \(\displaystyle{ \epsilon}\) był dowolny to dajemy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^{+}}\) co daje wynik.
Można też patrzeć na to jak na "wywinięcie" zbioru \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) i znalezienie do każdego elementu tego zbioru elementu odwrotnego.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: zbiór wartości funkcji trygonometrycznej
Albo ze znajomości (wykresu) funkcji homograficznej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\).Janusz Tracz pisze:Bierze się to z rozpatrzenia kilku przypadków.
Jeśli \(\displaystyle{ x\in [-1,1]\setminus\{0\}}\), to \(\displaystyle{ frac{1}{x}in (-infty,-1]cup[1,+infty)}\).
JK