Równanie cyklometryczne

[AvaPL]

Mam do rozwiązania takie coś:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)

Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \pi - \arccos x}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \beta}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = x \Rightarrow \cos (\pi - \alpha) = x \Rightarrow -\cos \alpha = x}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = -\cos \alpha \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} + \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = - \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2} = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{1}{2}}\)

A to łatwo obliczyć, że jest złym wynikiem. Co jest źle? Jestem zielony w równania cyklometryczne, jakby ktoś mi podpowiedział gdzie tu jest błąd oraz jakie założenia czy tożsamości warto stosować byłbym wdzięczny (znam tożsamości na sumowanie do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i na x ujemne). Robiąc różne zadania analogicznie wychodzą mi różne wyniki, które często muszę odrzucać przez zwyczajne podstawienie, bo nie umiem dopasować do nich żadnego założenia, które by im zabraniało być poprawnymi.

@Edit
Jeszcze jedno drobne pytanie przy okazji. Jeśli mam równanie w postaci \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\) to da się je jakoś rozpisać czy jedyne co mi pozostaje to zostawienie \(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{1}{3}}\) ?

[kropka+]

Dobrze przepisałeś?

\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)

\(\displaystyle{ \alpha =\arcsin (x\sqrt{3}) \Rightarrow \alpha \in \left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right]}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \arccos (-x) \Rightarrow \alpha \in \left[ 0, \pi \right]}\)

Stąd \(\displaystyle{ \alpha \in \left[ 0, \frac{ \pi }{2} \right]}\) a wtedy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha =x \sqrt{3} \ge 0 \\ \cos \alpha =-x \ge 0 \end{cases}}\)

A ten układ równań jest sprzeczny.

[AvaPL]

Tak, dobrze jest przepisane. Czyli jednak w zadaniu błąd. Już też widzę jakie założenia poczynić żeby się nie naliczyć. Dziękuję!

Mogę jeszcze liczyć na pomoc odnośnie końcówki pierwszego posta? Bo mam kilka zadań tego typu na liście do zrobienia i coś mi się nie widzi żeby można je było tak łatwo zrobić.

[kropka+]

Dodam jeszcze tylko, że gdyby nie warunek \(\displaystyle{ alpha in left[ 0, frac{ pi }{2}
ight]}\) to Twoje rozwiązanie byłoby poprawne.

Jeśli chodzi o kolejne równanie to pamiętaj, że \(\displaystyle{ alpha =arcsin frac{1}{3} in left[ - frac{ pi }{2}, frac{ pi }{2}
ight]}\). Natomiast kątów o sinusie równym \(\displaystyle{ frac{1}{3}}\) jest nieskończenie wiele.

\(\displaystyle{ sin alpha = frac{1}{3} Leftrightarrow alpha =left( arcsin frac{1}{3}
ight) +2k pi vee alpha =left( pi -arcsin frac{1}{3}
ight) +2k pi}\)

Poczytaj kompendium page.php?p=kompendium-funkcje-trygonometryczne Pod koniec jest sekcja Równania trygonometryczne. Dla nietypowych kątów w miejsce \(\displaystyle{ x _{0}}\) wstawiasz arcusa.