[Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

[maximum2000]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca=1}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{1+\sqrt{ab}}+\frac{b+c}{1+\sqrt{bc}}+\frac{c+a}{1+\sqrt{ca}} \leqslant \frac{3-\sqrt{3}}{3abc}}\)

[Premislav]

Ukryta treść:    

Nie lubię pierwiastków.
Połóżmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{ab}, \ y=\sqrt{bc}, z=\sqrt{ca}}\), wówczas założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), zaś teza wygląda jakoś tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{xz}{y} + \frac{xy}{z} }{1+x} + \frac{ \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} }{1+y} + \frac{\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}}{1+z} \le \frac{3-\sqrt{3}}{3xyz}}\)
a po wymnożeniu przez dodatnie \(\displaystyle{ xyz}\):
\(\displaystyle{ \frac{(xz)^2+(xy)^2}{1+x}+ \frac{(xy)^2+(yz)^2}{1+y}+ \frac{(yz)^2+(xz)^2}{1+z} \le 1- \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
czy też (bo \(\displaystyle{ y^2+z^2=1-x^2}\) i tak dalej)
\(\displaystyle{ x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z) \le 1-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
a to już idzie ultra łatwo:
znowu korzystając z założenia o sumie kwadratów, sprowadzamy ten problem do udowodnienia, że gdy dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), to zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 \ge \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Wynika to w sposób trywialny z nierówności między średnimi potęgowymi, co kończy dowód.

[arek1357]

\(\displaystyle{ \sqrt{ab}=x , \sqrt{bc}=z , \sqrt{ac}=y}\)

dalej:

\(\displaystyle{ a= \frac{xy}{z}, b= \frac{xz}{y} , c= \frac{yz}{x}}\)

po tych podstawieniach otrzymasz:


\(\displaystyle{ \frac{x}{yz} \frac{y^2+z^2}{1+x}+ \frac{z}{xy} \frac{x^2+y^2}{1+z}+\frac{y}{xz} \frac{x^2+z^2}{1+y} \le \frac{3- \sqrt{3} }{3xyz}/ \cdot xyz}\)

\(\displaystyle{ x^2\frac{y^2+z^2}{1+x}+y^2\frac{x^2+z^2}{1+y}+z^2 \frac{x^2+y^2}{1+z} \le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

nasz warunek:

\(\displaystyle{ ab+ac+bc=1}\)

zamienił się na:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\)

podstawiając do ostatniego otrzymasz:

\(\displaystyle{ \frac{ x^2(1-x^2)}{1+x} +\frac{ y^2(1-y^2)}{1+y}+\frac{ z^2(1-z^2)}{1+z}\le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

jak poskracasz otrzymasz:

\(\displaystyle{ x^2-x^3+y^2-y^3+z^2-z^3-1-(x^3+y^3+z^3) \le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

lub po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 \ge \frac{1}{3} \sqrt{3}}\)

a to ostatnie możesz sobie zrobić nawet z mnożników...



No tak piękny dubelt...

Od Premislava szybszy może być jedynie Chuck Norris ( z półobrotu)...

[Premislav]

Od Premislava szybsza może być dowolna osoba, która skończyła studia w terminie.
Ale się zaorałem
Moją pierwszą myślą po sprowadzeniu do \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3\ge\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
w dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\) też była metoda mnożników Lagrange'a, ale to chyba trochę przesada, choć wychodzi nawet gładko…

[arek1357]

Od Premislava szybsza może być dowolna osoba, która skończyła studia w terminie.

A szczególnie ta która skończyła europeistykę stosowaną metodą korespondencyjną w trybie zaocznym w Sochaczewie...