Liczenie granicy funkcji

[r3vis3d]

Cześć,
Mam do policzenia pare granic za które nie wiem jak sie zabrać a nawet jesli wiem, to sposób rozwiązania jest niedozwolony (błędny zapis :/ np. 1+1=2+2=2). Czy mógłby mi ktoś poprawnie rozwiązać te zadania?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( -1 \right) ^{x} \\
\lim_{x \to +\infty } \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^{x ^{2}} \\
\lim_{x \to 0 } x ^{\sin x} \\
\lim_{x \to +\infty } \frac{\sin \left( e ^{x} \right) }{x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{2x+1}{3x+1} \right) ^{x}}\) <= Tu mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{e} ^{ \infty }}\) czyli 0, ale wykładowca uznaje to za błędnie rozwiązane :<

[a4karo]

Pokaż swoje próby rozwiązania to je ocenimy.

W ostatnim przykładzie choć wynik jest dobry, to trzeba zobaczyć rozwiązanie żeby wydać werdykt.

[Premislav]

W ostatnim znacznie łatwiej jest zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{2x+1}{3x+1} <\frac 3 4}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\), a wówczas
\(\displaystyle{ 0<\left( \frac{2x+1}{3x+1}\right)^x<\left( \frac 3 4\right)^x}\)
i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.-- 25 paź 2017, o 19:01 --Znacznie łatwiej niż kombinować z \(\displaystyle{ e}\) - to miałem na myśli.

[a4karo]

Właśnie po tym \(\displaystyle{ e}\) podejrzewam, że argumentacja jest nieprawidłowa.

[r3vis3d]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( -1 \right) ^{x} = 0}\), bo \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^{x ^{2}} = e ^{ \infty } = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } x ^{\sin x} = 1}\), bo \(\displaystyle{ \sin x \rightarrow 0}\), a \(\displaystyle{ x ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \frac{\sin \left( e ^{x} \right) }{x} = 0}\), bo \(\displaystyle{ \sin \left( e ^{x} \right) \rightarrow 2}\), a \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\), wiec \(\displaystyle{ \frac{2}{ \infty } \rightarrow 0}\)

[Premislav]

Uzasadnienia są całkowicie błędne, zaś w przypadku
\(\displaystyle{ lim_{x o +infty } (-1) ^{x}}\) błędna jest także odpowiedź.
\(\displaystyle{ (-1)^x}\) ma sens liczbowy tylko dla \(\displaystyle{ x in Z}\), więc masz w praktyce granicę takiego ciągu:
\(\displaystyle{ -1,1, -1, 1, -1, 1, -1ldots}\)
Na przemian jedynki i minus jedynki. Czy może istnieć granica czegoś takiego?

\(\displaystyle{ lim_{x o 0 } x ^{sin x}}\)
Tutaj nie możesz skorzystać z tego, o czym piszesz, bo nie działa dla zera i dostajesz symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ left[ 0^0
ight]}\). Należy zauważyć, że to wyrażenie ma sens liczbowy tylko dla \(\displaystyle{ x>0}\), a potem np. skorzystać z:
\(\displaystyle{ x^{sin x}=e^{ln x^{sin x}}=e^{sin x cdot ln x}}\)
i policzyć granicę wykładnika przy \(\displaystyle{ x
ightarrow 0^+}\)
Tutaj też otrzymałeś dobry wynik, ale jedynie przypadkiem, rozumowanie w Twoim poście jest błędne.

\(\displaystyle{ lim_{x o +infty } frac{sin (e ^{x}) }{x}}\)
- tutaj można ograniczyć \(\displaystyle{ sin (e^x)}\) z góry przez \(\displaystyle{ 1}\) i z dołu przez \(\displaystyle{ -1}\), po czym skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. Jeśli twierdzisz, że
\(\displaystyle{ lim_{ x o infty } sin (e^x)=2}\), to jesteś w wielkim błędzie, ta granica nie istnieje.
Odpowiedź dobra, ale przypadkiem.

-- 25 paź 2017, o 20:38 --

Ogólnie to poczytaj notatki z zajęć, weź sobie do ręki jakiś zbiór zadań, np. Krysicki, Włodarski, przejrzyj parę wątków z forum, np. ten: 90940.htm
czy ten: 152288.htm
bo widzę, że pojęcie granicy jest Ci całkowicie obce (nie piszę tego złośliwie).