Różniczkowalność normy w l_1
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Różniczkowalność normy w l_1
Wykazać, że norma w przestrzeni \(\displaystyle{ l_1}\) nie jest rożniczkowalna w żadnym punkcie. Trochę nad tym siedziałem ale nie dałem rady tego wykazać.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Różniczkowalność normy w l_1
Zauważmy, że norma
\(\displaystyle{ \parallel \vec{e_{1}} +t\cdot \vec{e_{2}}\parallel = 1 +|t|}\) (1)
nie jest funkcją różniczkowalną w \(\displaystyle{ 0.}\)
Załóżmy, że istnieje pochodna normy \(\displaystyle{ l_{1}}\) w sensie Frecheta w \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{e_{2}}.}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - T( t\cdot \vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - t\cdot T(\vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ T}\) jest operatorem liniowym.
\(\displaystyle{ \vec{h} = t\cdot \vec{e_{2}}, \ \ t \in R .}\)
Na podstawie równości (1)
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{1 +|t| -1 -t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} =0}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \frac{-t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} = -1}\) (2)
otrzymaliśmy sprzeczność, bo równość (2) nie może zachodzić, dla żadnej wartości \(\displaystyle{ T(\vec{e_{2}}).}\)
c.b.d.o.
\(\displaystyle{ \parallel \vec{e_{1}} +t\cdot \vec{e_{2}}\parallel = 1 +|t|}\) (1)
nie jest funkcją różniczkowalną w \(\displaystyle{ 0.}\)
Załóżmy, że istnieje pochodna normy \(\displaystyle{ l_{1}}\) w sensie Frecheta w \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{e_{2}}.}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - T( t\cdot \vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - t\cdot T(\vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ T}\) jest operatorem liniowym.
\(\displaystyle{ \vec{h} = t\cdot \vec{e_{2}}, \ \ t \in R .}\)
Na podstawie równości (1)
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{1 +|t| -1 -t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} =0}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \frac{-t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} = -1}\) (2)
otrzymaliśmy sprzeczność, bo równość (2) nie może zachodzić, dla żadnej wartości \(\displaystyle{ T(\vec{e_{2}}).}\)
c.b.d.o.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Różniczkowalność normy w l_1
Każdy punkt (wektor) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{1}}\) możemy wyrazić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}},}\) której norma jak wspomniałem nie jest różniczkowalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 22219
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Różniczkowalność normy w l_1
Czyżby stąd nie wynikało, że wymiar tej przestrzeni to \(\displaystyle{ 2}\) ?janusz47 pisze:Każdy punkt (wektor) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{1}}\) możemy wyrazić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}},}\) której norma jak wspomniałem nie jest różniczkowalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Re: Różniczkowalność normy w l_1
Wynika. Nawet mógłbym to przenieś na dowolne \(\displaystyle{ i,j \in \mathbb{N}}\) ale samo odwzorowanie, które punktowy przyporządkowuje pochodną nie jest liniowe, więc nie wiem co mi to daje.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Różniczkowalność normy w l_1
Nie zachodz,i bo pochodna normy nie jest funkcją różniczkowalną.
Ale operator różniczkowania na przykład w sensie Frecheta jest operatorem linowym.
Ale operator różniczkowania na przykład w sensie Frecheta jest operatorem linowym.