Pokazać równość

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ A \subset G}\) będzie takim podzbiorem, że \(\displaystyle{ \left\langle A\right\rangle=G}\). Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą homomorfizmami takimi, że \(\displaystyle{ f_{| A}=g_{| A}}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f=g}\).

Jak rozumiem \(\displaystyle{ f_{| A}}\), to jest z tego co pamiętam obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) ta?

No dobra i jak to ruszyć?

[szw1710]

Skorzystaj z tego, że każdy element \(\displaystyle{ G}\) możesz wygenerować jako działanie na elementach \(\displaystyle{ A}\). Wszystko załatwiają definicja homomorfizmu i jego najprostsze własności.

Dla grupy cyklicznej: Niech \(\displaystyle{ b\in G}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=a^n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) (notacja multyplikatywna). Stąd \(\displaystyle{ f(b)=f(a^n)=\bigl(f(a)\bigr)^n=\bigl(g(a)\bigr)^n=g(a^n)=g(b)}\).

Dla dowolnej grupy... idź i czyń podobnie.

[leg14]

Jak rozumiem \(\displaystyle{ f_{| A}}\), to jest z tego co pamiętam obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) ta?

to jest obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do zbioru \(\displaystyle{ A}\)

[max123321]

Aha no racja, bo grupa cykliczna tylko tym się różni od zwykłej grupy, że dla zwykłej może być więcej generatorów.

No to weźmy dowolny \(\displaystyle{ b \in G}\) w zasadzie wystarczy tylko pokazać, że równość funkcji zachodzi dla elementów spoza \(\displaystyle{ A}\). Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ \exists a \in A}\), że \(\displaystyle{ a^k=b,k \in \NN}\). I teraz \(\displaystyle{ f(b)=f(a^k)=f(a)^k=g(a)^k=g(a^k)=g(b)}\).

Tak jest dobrze? Tylko nie rozumiem z czego wynika ta równość : \(\displaystyle{ g(a)^k=g(a^k)}\)? Co to za własność?

[Jan Kraszewski]

Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ \exists a \in A}\), że \(\displaystyle{ a^k=b,k \in \NN}\).

Czyżby? Pomyśl o \(\displaystyle{ A=\{(0,1),(1,0)\} \subseteq \ZZ_2\times\ZZ_2}\) i \(\displaystyle{ b=(1,1)}\). Czy umiesz wskazać element \(\displaystyle{ a\in A}\) taki, że \(\displaystyle{ b=ka}\) (skoro mamy dodawanie, to przeszedłem na notację addytywną) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) ?

JK

[max123321]

No chyba nie. Czyli co trzeba by zsumować te dwa elementy z \(\displaystyle{ A}\), aby dostać \(\displaystyle{ b}\). Czyli gdzie popełniam błąd? Może być tak, że jakaś kombinacja generatorów daje dany element, a nie jeden generator tak?

[Jan Kraszewski]

Może być tak, że jakaś kombinacja generatorów daje dany element, a nie jeden generator tak?

Tak. Pomyśl, w jaki sposób baza generuje przestrzeń liniową - to jest podobna sytuacja, tylko tam masz dodawanie i mnożenie przez skalar, a tu masz tylko działanie grupowe (niekoniecznie przemienne). Generowanie polega zatem na tym, że mając zbiór generatorów najpierw dorzucasz wszystkie ich odwrotności, a potem skończone ciągi elementów z tego zbioru i ich iloczyny (z uwzględnieniem kolejności w ciągu).

JK

[max123321]

Ok dzięki.

Znalazłem jeszcze coś takiego:
Zbiór generatorów to: \(\displaystyle{ \left\{ g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k}:k \in \NN,\epsilon _i= \pm 1,g_i \in X \right\}}\).

Czy to jest dobrze określone? Jak z tego zbioru uzyskać np. \(\displaystyle{ g_3 \cdot g_7 \cdot g_{11}}\) jak epilony mogą być tylko plus minus jeden? Jeszcze zero chyba powinno być?

[Jan Kraszewski]

Jest dobrze jeśli przyjmiemy, że \(\displaystyle{ g_1, g_2,..., g_k}\) oznaczają pewne generatory (w dodatku niekoniecznie różne), a nie wszystkie.

JK

[max123321]

No dobra, ale to w takim razie trochę komplikuje więc jak zrobić dalej to zadanie?

[Jan Kraszewski]

Dlaczego komplikuje?

Zbiór generatorów to: \(\displaystyle{ \left\{ g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k}:k \in \NN,\epsilon _i= \pm 1,g_i \in X \right\}}\).

Aha, tutaj chodzi nie o "zbiór generatorów" tylko o "zbiór generowany".

Czemu równa się \(\displaystyle{ f(g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k})}\) ? A czemu \(\displaystyle{ g(g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k})}\) (w sumie to warto zmienić albo symbol na homomorfizm, albo symbole na generatory...)?

JK

[max123321]

Nie wiem do końca co masz na myśli. Może chodzi o to, że:
\(\displaystyle{ f(g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k})=f(g_1^{\epsilon _1}) \cdot f(g_2^{\epsilon _2}) \cdot... \cdot f(g_k^{\epsilon _k})}\) i to chyba jest równe:
\(\displaystyle{ f(g_1)^{\epsilon _1} \cdot f(g_2)^{\epsilon _2} \cdot... \cdot f(g_k)^{\epsilon _k}}\), a to z kolei jest równe \(\displaystyle{ g(g_1)^{\epsilon _1} \cdot g(g_2)^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g(g_k)^{\epsilon _k}}\) i dalej \(\displaystyle{ g(g_1^{\epsilon _1}) \cdot g(g_2^{\epsilon _2}) \cdot... \cdot g(g_k^{\epsilon _k})=g(g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k})}\).
Zgadza się?

[Jan Kraszewski]

Tak, to mam na myśli.

JK

[max123321]

No dobra i to chyba tyle w tym zadaniu?

A jeszcze mam pytanie. Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ f(g_1^{\epsilon_1})=f(g_1)^{\epsilon_1}}\)? Z czego to wynika?

[Jan Kraszewski]

Jeśli \(\displaystyle{ \epsilon_1=1}\), to oczywiste. Jeśli \(\displaystyle{ \epsilon_1=-1}\), to \(\displaystyle{ f(g_1^{-1})=f(g_1)^{-1}}\) bo homomorfizm zachowuje el. odwrotny.

Oczywiście, jak chciałbyś mieć ten dowód zrobiony bardzo porządnie, to powinieneś zacząć od ustalenia dowolnego elementu \(\displaystyle{ x\in G}\), potem należałoby się powołać na założenie, że \(\displaystyle{ G=\left\langle A\right\rangle}\) i na tej podstawie stwierdzić istnienie \(\displaystyle{ g_1, g_2,..., g_k\in A}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon _1,\epsilon _2,...,\epsilon _k\in\{-1,1\}}\) takich, że \(\displaystyle{ x=g_1^{\epsilon _1} \cdot g_2^{\epsilon _2} \cdot... \cdot g_k^{\epsilon _k}}\) i potem w wiadomy sposób pokazać, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\).

JK