Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

[relic]

Witam,

weźmy dowolny zbieżny ciag \(\displaystyle{ \left\{ a_{i} \right\} \subseteq R^{k}}\)
czy dla kazdego takiego ciagu istnieje funkcja ciagla \(\displaystyle{ g(x):R^{m} \rightarrow R^{k}}\) taka, ze \(\displaystyle{ \forall {i \in N} \ \ \exists \ \ x_0 \in R^{m} \ \ ze \ \ g(x_0)=a_i}\)?

Innymi slowy czy dla dowolnego przeliczalnego zbioru punktów istnieje funkcja ciagle w calej przestrzeni przyjmująca wartosci w tych punktach?

edit://

[leg14]

talk

[relic]

a jakis zarys dowodu?

[leg14]

Rzutujesz \(\displaystyle{ \RR^{m}}\) na \(\displaystyle{ \RR}\). Na przedziale \(\displaystyle{ [n,n+1]}\) definiujesz
funkcję \(\displaystyle{ f_n(t) = \frac{t}{n} \cdot a_n + \frac{t-1}{n}a_{n+1}}\). Sklejasz te funkcje do jednej funkcji \(\displaystyle{ F:\RR \rightarrow \RR^{k}}\)