Ciągłość funkjcji dwóch zmiennych - sprawdzenie

[Majeskas]

Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji

\(\displaystyle{ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}
|yx^{-2}|\cdot e^{-|yx^{-2}|} & \textrm{dla $x\neq0$}\\
0 & \textrm{dla }x=0
\end{array} \right.}\)

Moim zdaniem ciągłość jest wszędzie poza \(\displaystyle{ (0,0)}\).

W otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (0,t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t\neq0}\), mamy

\(\displaystyle{ f(x,y)=g(s(x,y))}\), gdzie \(\displaystyle{ s(x,y)=|yx^{-2}|}\) i \(\displaystyle{ g(s)=se^{-s}}\).

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,t)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,t)}g(s(x,y))}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,t)}s(x,y)=+\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{s\to+\infty}se^{-s}=0}\).


Wprawdzie nie możemy tak rozumować w otoczeniu, które zawiera punkty prostej \(\displaystyle{ x=0}\), ale tam \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\), więc nic to nie zmienia, jeśli chodzi o granicę.


Zatem szukaną granicą jest zero. Wszystko fajnie, tylko trochę zmartwił mnie Wolfram, który powiedział, że ta granica nie istnieje.

[Premislav]

Majeskas, nie przejmuj się wolframem, on często źle liczy granice funkcji wielu zmiennych (a dokładniej: nie źle, tylko inaczej je rozumie, zdaje się, że jakby liczył granicę funkcji zmiennej zespolonej, ale tu pewien nie jestem). Twoje rozumowanie wygląda OK.

[Colin Firth]

Może przyda się komuś jeszcze na przyszłość - ja badam tą funkcję teraz i tak trafiłem na ten temat.

Zadana funkcja nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), oto dlaczego:

Rozpatrzmy standardową parabolę \(\displaystyle{ y=x^2}\) w dowolnie małym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\). Jak łatwo sprawdzić, na całej tej paraboli funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1/e}\), czyli przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) mamy \(\displaystyle{ f(x,x^2)=1/e \neq f(0,0)}\) - tym samym zaprzeczyliśmy definicji ciągłości Heinego.

Ogólnie rzecz biorąc, każdy punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) możemy przedstawić jako \(\displaystyle{ (x, cx^2)}\), gdzie \(\displaystyle{ c=y/x^2}\) - wówczas wartość funkcji w tym punkcie (i w każdym innym leżącym na paraboli \(\displaystyle{ y=cx^2}\)) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|c|}{ e^{|c|} }}\). Od tego miejsca można (korzystając z definicji Cauchy'ego) łatwo wskazać takie epsilony i delty, które dowodzą ciągłości. Tym samym funkcja jest ciągła wszędzie poza punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\)

[teusiek]

Biorąc parę ciągów \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^{2}}\right)}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ f(x_{n},y_{n}})=\frac{1}{e}}\)
Natomiast biorąc parę \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})=\left(\frac{1}{n},0\right)}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(x_{n},y_{n}})=0}\)
Skoro te granice są różne to granica w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje.