rozkład na rzeczywiste ułamki proste

[naciunia7]

Być może problem jest banalny, ale nie rozumiem czemu się tak dzieje...

Mam do rozłożenia na ułamki proste funkcję wymierną:

\(\displaystyle{ \frac{(4x)}{(x+1)(x^2+1)^2}}\)

Rozpisuję sobie na ułamki \(\displaystyle{ \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x^2+1}+ \frac{C}{(x^2+1)^2}}\)

Po wykonaniu działań dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ 4x=x^4 A +x^3 B ....}\)
Wtedy A i B równałyby się zero...

To nie ma sensu.. Co robię źle?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{4x}{(x+1)(x^2 +1)^2} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\cfrac{Dx+ E}{(x+1)^2}}\)

Proszę zapoznać z odpowiednim twierdzeniem z Algebry Liniowej.

[Mariusz M]

Tak ale do całkowania chyba wygodniejszy będzie wzór Ostrogradskiego
a do odwracania transformaty Laplace splot

W przypadku odwracania transformaty Laplace splatamy funkcje \(\displaystyle{ e^{-t}*\sin{t}*\cos{t}}\)
W przypadku całkowania mamy

\(\displaystyle{ \int{\frac{4x}{\left( x+1\right)\left( x^2+1\right)^2 } \mbox{d}x }=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+1}+\int{\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{\left( x+1\right)\left( x^2+1\right)} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2=\left( x^2+1\right) -\left( x-1\right)\left( x+1\right)\\
2x=\left( x+1\right)^2-\left(x^2+1\right) \\}\)