Udowadnianie z definicji supremum

[Piotr206]

Mam pytanie ogólne do definicji supremum.
Defnicja:
\(\displaystyle{ M= \sup {A}\\
1)\ \forall x \in A \ x \le M\\
2)\ \forall \epsilon > 0 \ \exists \ x _{o} \in A \ M-\epsilon<x_{o}}\)

Jak znajdować to \(\displaystyle{ x_{o}}\)? Czy jest jakaś ogólna zasada? Nie mogę tego nigdzie znaleźć. Wiem, że czasem wykorzystuje się zasadę Archimedesa i to, że zbiór jest gęsty ale mając dowieść np. supremum dla \(\displaystyle{ x\in(- \sqrt{2}, \sqrt{2} )}\) nie wiem co mam zrobić.

[janusz47]

Definicja ta ma charakter formalny i jej symbolika jest zbyt trudna dla przeciętnego studenta nie mówiąc o przeciętnym uczniu klasy I liceum, gdzie niektórzy nauczyciele w ten sposób wprowadzają pojęcie kresu.

Postaram się jednakże zinterpretować podany warunek (2) za pomocą pojęcia odległości, uzyskując w ten sposób definicję zarówno poprawną jak i przystępną.

Warunek (2) orzeka, że istnieje zawsze element nazywany tu \(\displaystyle{ x_{0}}\) ) leżący na prawo od \(\displaystyle{ M-\epsilon}\) przy dowolnie dobranym \(\displaystyle{ \epsilon}\) (proszę wykonać rysunek).

Inaczej mówiąc, dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon >0.}\) istnieje element położony w stosunku do \(\displaystyle{ M}\) bliżej niż \(\displaystyle{ \epsilon:}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A} d(x_{0}, M)< \epsilon}\) (1)

lub

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A}|x_{0} - M| < \epsilon}\) (2)


Zatem, żadna liczba mniejsza niż \(\displaystyle{ M}\) nie może być kresem górnym zbioru (spełniać (2)).

Nie możemy " przesunąć M w lewo " na przykład w miejsce \(\displaystyle{ M-\epsilon}\) ponieważ wówczas
"przeskoczylibyśmy jakiś element zbioru".

Warunek (1) lub (2) jest symbolicznym zapisem sformułowania " najmniejsza z liczb".

Przykład

Niech \(\displaystyle{ Z = \{z: z = \sqrt{n+1}- \sqrt{n}, n \in N \}.}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} -\sqrt{n}= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq \frac{1}{1 +\sqrt{2}}= M.}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\) (3)

lub

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon}\) (4)

Nierówności (3) lub (4) są prawdziwe w zbiorze liczb naturalnych, więc

\(\displaystyle{ sup Z = \frac{1}{\sqrt{2}+1}.}\)

[a4karo]

Nierówność (4) w sposób oczywisty nie jest prawdziwa, a nierówność (3) nijak się ma do tego, co trzeba pokazać.

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x_{0}= n = 1}\) a nierówność ta będzie spełniona.

[a4karo]

Prawdziwość nierówności w jakimś zbiorze oznacza, że dla każdego elementu tego zbioru jest ona spełniona. W tym przypadku tak nie jest.

Sądzę, że robisz wiele szkody takimi postami.

[janusz47]

Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .

[a4karo]

Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .

To nie ma nic wspólnego z definicją kresu zbioru. Piszesz rzeczy nieprawdziwe i w ten sposób wprowadzasz w błąd ludzi, którzy szukają tu pomocy

oto te nieprawdy:

Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

Nie jest.

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon}\)

To ewidentna nieprawda, pomijając już fakt, że kwantyfikator egzystencjalny w tym zapisie ma mało sensu

[janusz47]

Proszę zapoznać się na przykład z artykułem w czasopiśmie dla nauczycieli MATEMATYKA Nr 1. 1979 Pani Profesor Ireny Gucewicz- Sawickiej " Pojęcie kresu dolnego i górnego zbioru str.32.

Proszę ponadto zapoznać się ze skryptem Roberta Hajłasza. Metodyka rozwiązywania zadań z Analizy Matematycznej. Wyd. Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa 1985.

Ja nie odnoszę się do Pańskich postów, które albo krytykują albo gratulują i nic do merytorycznej dyskusji nie wnoszą.

[Premislav]

Czasopisma dla nauczycieli to śmieszne źródło w dyskusji o matematyce; skoro rzecz tyczy się analizy, to dlaczego nie odwołać się do Fichtenholza, Rudina, Maurina (nie czytałem), Lei, Kuratowskiego, Rudnickiego, czy coś w tym stylu. Chyba w dyskusji o fizyce nie powołujesz się na poradnik inżyniera. Zresztą to nie jest odpowiedź na zarzuty niepoprawności, tylko wybicie przeciwnika w dyskusji z rytmu przez odesłanie do autorytetów.
To może konkretniej:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\)
Pomijając całkowity bezsens zapisu
\(\displaystyle{ \bigvee_{x_{0}=1 \in Z}}\), to wartość logiczna zdania
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_0 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\) nie zależy od żadnego \(\displaystyle{ x_0}\), więc cały ten kwantyfikator jest przy takim zapisie zbędny.
Doszliśmy do tego, że powyższe zdanie, jeśli pominiemy to, że źle zapisane, jest równoważne takiemu:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\)
ale to po pierwsze nie jest żadna sensacja, gdyż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1}<1}\), a po drugie w żaden sposób nie wiąże się z przytoczonym przykładem.
Poprawny i sensowny zapis w kontekście tego przykładu mógłby być taki (żeby było analogicznie, użyję nielubianej przeze mnie notacji Kuratowskiego):
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{n_{0} \in \NN^+}\left (\frac{1}{\sqrt{n_0+1}+\sqrt{n_0}} > \frac{1}{1+\sqrt{2}}-\epsilon\right)}\)
i możemy wskazać palcem takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN^+}\) dobre dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), a mianowicie \(\displaystyle{ n_0=1}\).
To daje nam wniosek, że nie może istnieć mniejsze ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ Z}\) (wg niezbyt szczęśliwej notacji z postów powyżej) niż
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}}}\).

Natomiast to:

Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

jest po prostu nie do obrony: weźmy dowolny \(\displaystyle{ \epsilon}\) mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1}}\), np. \(\displaystyle{ \epsilon=\frac 1 {14882137}}\). Dla \(\displaystyle{ n=10000}\) mamy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon > \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Zapomniałeś o pewnych podstawach lub za mało uważnie pisałeś i teraz próbujesz zatuszować pomyłki, odsyłając do literatury. Tak bym to skomentował:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=GisG7HRk-3k

[janusz47]

Zajrzyj do tych publikacji i nie krytykuj profesorów, którzy publikują swoje prace w czasopismach dla nauczycieli i tych którzy piszą skrypty i podręczniki, bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.

[Premislav]

bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.

Miałem być uprzejmy, ale nie będę, jak widzę takie "argumenty". Weź, dobry człowieku, puknij się w czółko (a nuż coś się poprawi), zamiast stosować personalne przytyki, a następnie przeczytaj sobie może książkę Schopenhauera o erystyce i popatrz, jak to się ma do Twoich postów.
Zauważ, że nigdy nie krytykowałem profesorów publikujących gdziekolwiek, skrytykowałem podanie źródła popularnonaukowego (artykułu w czasopiśmie dla nauczycieli) jako argumentu w dyskusji.
Poza tym nie odniosłeś się w żaden sposób do tego, co napisałem, pozostaliśmy w tematyce tego, co kto czytał (polecam tego Schopenhauera, naprawdę). Każdemu zdarza się pomylić, natomiast cechą człowieka niemądrego jest nieumiejętność przyznania się do błędu.
To tyle z mojej strony.

EDIT: gdyby były wątpliwości (można sprawdzić historię edycji), poprawiłem tylko pisownię wyrazu "czasopiśmie".

[janusz47]

Młody człowieku, trochę kultury, skromności i przyzwoitości, zdaje Ci się że jesteś wyrocznią, obrażasz!
Przeczytaj sobie artykuł Pani Profesor Gucewicz-Sawickiej i dowód w książce Profesora Roberta Hajłasza na stronie 23, wtedy podyskutujemy.

[AiDi]

A mógłbyś janusz47 powiedzieć co konkretnie w argumentacji Premislav'a jest nie tak? Niestety nie mam (pewnie nie tylko ja) dostępu do czasopism dla nauczycieli matematyki z 1979 roku. A nie wygląda to na rzecz, która wymaga argumentu 'autorytetu'.