\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^n}{n! e^n}}\)
Kryterium D'Alambert - Nie rozstrzyga.
Kryterium Cauchy'ego - Też.
Lekka zmiana w kryterium porównawczym psuje...
Tak zaznaczam tylko, nie bd Was zasypywał obliczeniami, które de facto nic nie dają.
Macie jakąś sugestie?
Ciekawy szereg
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Ciekawy szereg
Można udowodnić indukcyjnie na przykład taką nierówność:
\(\displaystyle{ n!\le ne\left( \frac n e\right)^n}\), jak się zdaje w drugim kroku indukcyjnym będziesz potrzebował tego, że \(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^{n+1}}\) jest ciągiem malejącym, a to idzie z nierówności Bernoulliego.
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{n^n}{n! e^n} \ge \frac{1}{ne}}\)
i kryterium porównawcze załatwia sprawę.
Inna opcja to wzór Stirlinga.
\(\displaystyle{ n!\le ne\left( \frac n e\right)^n}\), jak się zdaje w drugim kroku indukcyjnym będziesz potrzebował tego, że \(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^{n+1}}\) jest ciągiem malejącym, a to idzie z nierówności Bernoulliego.
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{n^n}{n! e^n} \ge \frac{1}{ne}}\)
i kryterium porównawcze załatwia sprawę.
Inna opcja to wzór Stirlinga.