Dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają poniższy układ równań. Udowodnij, że \(\displaystyle{ a=b=c=d}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 d^{3} \\ b^{4} + c^{4} + d^{4} = 3 a^{4}\\ c^{5} + d^{5} + a^{5} = 3 b^{5}\end{cases}}\)
Układ równań z czterema niewiadomymi
-
Ogorek00
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Układ równań z czterema niewiadomymi
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Układ równań z czterema niewiadomymi
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3=4d^3\\a^4+b^4+c^4+d^4=4a^4\\a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5}\)
Ze średnich potęgowych mamy:
\(\displaystyle{ b= \sqrt[5]{ \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{4} } \ge a= \sqrt[4]{ \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4} } \ge d= \sqrt[3]{ \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4} }}\)
Z drugiej strony, wobec dodatniości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), z pierwszej równości (1) wynika, że
wśród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nie większa i nie mniejsza niż \(\displaystyle{ d}\), analogicznie z drugiej równości (2) wynika, że wśród liczb \(\displaystyle{ b,c,d}\) są liczba nie większa i liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ a}\), natomiast z trzeciej równości (3) otrzymujemy, że wśród liczb \(\displaystyle{ a,c,d}\) mamy liczbę nie większą niż \(\displaystyle{ b}\) i liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ b}\) (to po prostu widać, ale można łatwo wykazać przez sprzeczność).
Kremówkuj z tym (z nierówności, które wynikają ze średnich potęgowych i z przypadku (1) wynika, że bądź to \(\displaystyle{ a=d}\), bądź \(\displaystyle{ d\ge c}\) etc.). Pozostawiam do dokończenia.
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3=4d^3\\a^4+b^4+c^4+d^4=4a^4\\a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5}\)
Ze średnich potęgowych mamy:
\(\displaystyle{ b= \sqrt[5]{ \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{4} } \ge a= \sqrt[4]{ \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4} } \ge d= \sqrt[3]{ \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4} }}\)
Z drugiej strony, wobec dodatniości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), z pierwszej równości (1) wynika, że
wśród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nie większa i nie mniejsza niż \(\displaystyle{ d}\), analogicznie z drugiej równości (2) wynika, że wśród liczb \(\displaystyle{ b,c,d}\) są liczba nie większa i liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ a}\), natomiast z trzeciej równości (3) otrzymujemy, że wśród liczb \(\displaystyle{ a,c,d}\) mamy liczbę nie większą niż \(\displaystyle{ b}\) i liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ b}\) (to po prostu widać, ale można łatwo wykazać przez sprzeczność).
Kremówkuj z tym (z nierówności, które wynikają ze średnich potęgowych i z przypadku (1) wynika, że bądź to \(\displaystyle{ a=d}\), bądź \(\displaystyle{ d\ge c}\) etc.). Pozostawiam do dokończenia.