Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Witam,
muszę zbadać monotoniczność funkcji (bez użycia granic czy też pochodnych) czyli na podstawie definicji.
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać. Gdyby nie obecność przedziałów zbadałbym znak wyrażenia \(\displaystyle{ f \left( x_{1} \right) -f \left( x_{2} \right)}\). A tak nie wiem co robić
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{x}{x^{2}+1}}\)
dla
a) \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1 \right)}\)
b) \(\displaystyle{ x \le -1}\)
Dzięki za pomoc czy też wskazówkę
muszę zbadać monotoniczność funkcji (bez użycia granic czy też pochodnych) czyli na podstawie definicji.
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać. Gdyby nie obecność przedziałów zbadałbym znak wyrażenia \(\displaystyle{ f \left( x_{1} \right) -f \left( x_{2} \right)}\). A tak nie wiem co robić
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{x}{x^{2}+1}}\)
dla
a) \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1 \right)}\)
b) \(\displaystyle{ x \le -1}\)
Dzięki za pomoc czy też wskazówkę
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 20:59 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Zrób dokładnie to samo tyle że z założeniem np w a) \(\displaystyle{ x_1>x_2 \wedge x_1,x_2 \in (-1,1)}\)Krys007 pisze:Witam,
muszę zbadać monotoniczność funkcji (bez użycia granic czy też pochodnych) czyli na podstawie definicji.
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać. Gdyby nie obecność przedziałów zbadałbym znak wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})}\)
Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Właśnie to musisz zrobić. Zakładając, że \(\displaystyle{ x<y}\), trzeba będzie zbadać znak wyrażenia \(\displaystyle{ xy-1}\). To Ci wyjdzie z rachunków. I znów pojawia się hiperbola (zobacz na fanpage mojego bloga).
Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
zakładam, że \(\displaystyle{ x_{1}}\) < \(\displaystyle{ x_{2}}\)
po wyliczeniu f(\(\displaystyle{ x_{1}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{2}}\)) wychodzi mi takie coś
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)
Z czego odczytuję że jest to liczba mniejsza od zera, zatem f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) <0
a f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))<f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) ale nic mi to nie mówi..
po wyliczeniu f(\(\displaystyle{ x_{1}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{2}}\)) wychodzi mi takie coś
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)
Z czego odczytuję że jest to liczba mniejsza od zera, zatem f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) <0
a f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))<f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) ale nic mi to nie mówi..
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Raz piszesz \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\), a raz \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)}\) - zdecyduj.
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Pogubiłem się.
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)
ta liczba jest mniejsza od zera. To wiem, ale nie wiem co z tym fantem począć
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)
ta liczba jest mniejsza od zera. To wiem, ale nie wiem co z tym fantem począć
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Bo znaki w nawiasach to \(\displaystyle{ \frac{(+)(-)}{(+)}}\) co daje liczbę ujemną
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
O kurczę, faktycznie... one są tylko w przedziale (-1,1)
W takim razie mam tą liczbę ale...ale w takim razie jak mam zbadać znak wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) ?
W takim razie mam tą liczbę ale...ale w takim razie jak mam zbadać znak wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
A jaki jest związek między \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\) ?
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Podstawiłem \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) do wzoru funkcji i próbowałem coś z tego wyliczyć.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Krys007 pisze:Podstawiłem x1 i x2 do wzoru funkcji i próbowłem coś z tego wyliczyć
Napisałeś \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i zastosowałeś wzór opisujący funkcję. I co dostałeś?
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
Badanie monotoniczności funkcji to dla mnie nowość, opierałem się na poradnikach video jak to zrobić. Tam też podstawiają do wzoru i wyliczają aż otrzymają pożądaną postać wzoru:
\(\displaystyle{ x_1-x_2<0}\)
Ja nie potrafię tego zrobić analogicznie
\(\displaystyle{ x_1-x_2<0}\)
Ja nie potrafię tego zrobić analogicznie
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji
I tyle są warte te poradniki. Uczą schematyzmu, a nie zdroworozsądkowego myślenia. Inna rzecz, że studentom wydaje się, że oglądając te filmy staną się super-mistrzami matematyki. Nic bardziej błędnego. Nic nie zastąpi żywego kontaktu z nauczycielem. Odradzam studentom wszelkie opisane przez Ciebie przedsięwzięcia. Tym bardziej, że są one często piratowane. Ale do kursów video trzeba mieć niezmierny talent, a i podejście dydaktyczne jest inne niż w tradycyjnych zajęciach.
Dobrze, że zwracasz się do nas. Doszliśmy do tego, że monotoniczność badanej funkcji zależy od znaku iloczynu \(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_1x_2-1)}\). Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to zależy tylko od znaku wyrażenia \(\displaystyle{ x_1x_2-1}\). Narysuj hiperbolę o tym równaniu i wyciągnij wnioski zależnie od przypadków, jakie masz do rozważenia.
Dobrze, że zwracasz się do nas. Doszliśmy do tego, że monotoniczność badanej funkcji zależy od znaku iloczynu \(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_1x_2-1)}\). Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to zależy tylko od znaku wyrażenia \(\displaystyle{ x_1x_2-1}\). Narysuj hiperbolę o tym równaniu i wyciągnij wnioski zależnie od przypadków, jakie masz do rozważenia.