Treść zadania:
Znajdż kresy górny i dolny zbioru
\(\displaystyle{ left{ frac{1}{n}+ frac{1}{k};n,k in N
ight}}\)
Górny kres to oczywiście 2, z tym nie zamierzam się sprzeczać.
Jednak wg. ćwiczeniowca oraz poprzedniego tematu z forum na ten temat:
155494.htm
a dokładniej tego fragmentu:
155494.htm#p581218
Wynika, że kres dolny to \(\displaystyle{ 0}\).
Moim zdaniem ten zbiór nie posiada kresu dolnego.
Przekształćmy więc:
\(\displaystyle{ frac{1}{n}+ frac{1}{k} = frac{n+k}{n cdot k}}\)
Skoro \(\displaystyle{ n,k ge 1}\) (bo należą do \(\displaystyle{ NN}\))
więc \(\displaystyle{ n+k ge 2}\)
więc \(\displaystyle{ frac{n+k}{n cdot k}>frac{1}{n cdot k}>0}\)
Więc istnieje taka liczba która jest mniejsza od zbioru, a większa od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ 0}\) nie może być kresem dolnym.
Prosiłbym o wykazanie błędu w moim rozumowaniu, jeśli taki istnieje.
Wyznaczenie kresu dolnego
Wyznaczenie kresu dolnego
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Zamiast skanu możesz linkować do konkretnego postu. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Zamiast skanu możesz linkować do konkretnego postu. Symbol mnożenia to \cdot.
Wyznaczenie kresu dolnego
Kresem dolnym jest zero, bo oba ułamki mogą być dowolnie małe, więc i suma może być dowolnie mała.
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Bierzemy \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) obie większe od \(\displaystyle{ \frac{2}{\varepsilon}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<\varepsilon.}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Bierzemy \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) obie większe od \(\displaystyle{ \frac{2}{\varepsilon}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<\varepsilon.}\)
Wyznaczenie kresu dolnego
Czyli nie ma różnicy, czy mamy, 2, 3, 50, ilekolwiek 'dowolnie małych' ułamków?
Wyznaczenie kresu dolnego
Musimy mieć przynajmniej jeden, ale istotnie jest ich tu nieskończenie wiele.
Wyznaczenie kresu dolnego
Ok, to załóżmy
\(\displaystyle{ x \in \NN}\)
Skoro tak jak mówisz dla \(\displaystyle{ y \ge 1}\):
\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}}\)
Dla \(\displaystyle{ y=1, y=2}\), etc.
Kres dolny to \(\displaystyle{ 0}\).
To w takim razie dla:
\(\displaystyle{ x=y}\)
Kres dolny to również \(\displaystyle{ 0}\)?
No nie wydaje mi się, tak samo jak nie wydaje mi się, żeby licznik nie robił różnicy.
-- 22 paź 2017, o 22:46 --
Okey, to co zgubiłem to ta część wiadomości o kresach, że muszą być liczbami... stałymi, więc moje dziwne przekształcenia na:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n \cdot k}}\)
są bezużyteczne, bo powstaje mi inny kres dla każdego \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Granica dolna to \(\displaystyle{ 0}\), tak, teraz się zgadzam.
\(\displaystyle{ x \in \NN}\)
Skoro tak jak mówisz dla \(\displaystyle{ y \ge 1}\):
\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}}\)
Dla \(\displaystyle{ y=1, y=2}\), etc.
Kres dolny to \(\displaystyle{ 0}\).
To w takim razie dla:
\(\displaystyle{ x=y}\)
Kres dolny to również \(\displaystyle{ 0}\)?
No nie wydaje mi się, tak samo jak nie wydaje mi się, żeby licznik nie robił różnicy.
-- 22 paź 2017, o 22:46 --
Okey, to co zgubiłem to ta część wiadomości o kresach, że muszą być liczbami... stałymi, więc moje dziwne przekształcenia na:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n \cdot k}}\)
są bezużyteczne, bo powstaje mi inny kres dla każdego \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Granica dolna to \(\displaystyle{ 0}\), tak, teraz się zgadzam.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.