Czy dowód jest poprawny?
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Czy dowód jest poprawny?
Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\
T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)
Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)
\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\
a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)
Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\
T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)
Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)
\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\
a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)
Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 09:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Czy dowód jest poprawny?
Szczerze? Napisales ciąg znaczków, z którego nic nie wynika.tangerine11 pisze:Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\
T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)
Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)
\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\
a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)
Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest
Dowód to rozumowanie, które prowadzimy i zapisujemy w języku polskim, pomagając sobie tam gdzie trzeba symbolami matematycznym.
Nie pisz znaczków, tylko zastanów się co chcesz powiedzieć.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
arek1357 pisze:A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
Z powodu że???
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne masz grupę:
\(\displaystyle{ \ZZ_{2} \times \ZZ_{2}}\)
każdy element jest rzędu dwa
\(\displaystyle{ \ZZ_{2} \times \ZZ_{2}}\)
każdy element jest rzędu dwa
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
No i co z tego? Twierdzenie mówi o czymś innym.arek1357 pisze:ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
Zadanie pochodzi ze zbioru "Algebra abstrakcyjna w zadaniach", Jerzy Rutkowski.
W takim razie mogę prosić o jakieś wskazówki lub początek dowodu?
W takim razie mogę prosić o jakieś wskazówki lub początek dowodu?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
Ja bym zaczął oda4karo pisze:Zacznij od tego :
Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\). To znaczy, że...
Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ a\in G}\). Niech...
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
arek1357, przecież nikt nie twierdzi, że jakiś element w takiej grupie jest rzędu \(\displaystyle{ n}\). To, że \(\displaystyle{ a^n =e}\) niekoniecznie znaczy, że rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ n}\). Rozróżniasz?
Ja bym zaproponował coś takiego: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a \in G}\). Popatrzmy na
\(\displaystyle{ a, a^2, \ldots a^{n+1}}\)
Rząd grupy wynosi \(\displaystyle{ n}\), więc dla pewnych \(\displaystyle{ 1\le k<m\le n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ a^k=a^m}\), stąd \(\displaystyle{ a^{m-k}=e}\), przy czym \(\displaystyle{ 1\le m-k \le n}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ m, k}\) by ta różnica była jak najmniejsza.
Oznaczmy dla uproszczenia \(\displaystyle{ l=m-k}\) i podzielmy z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ n=q\cdot l+r}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in \NN, \ r \in\left\{ 0,\ldots l-1\right\}}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^n=a^{q\cdot l}a^r=a^r}\).
i co teraz?
Można też od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange'a (w szczególności dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in G}\) rząd podgrupy generowanej przez element \(\displaystyle{ a}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\)), ale pewnie nie o to chodziło.
Ja bym zaproponował coś takiego: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a \in G}\). Popatrzmy na
\(\displaystyle{ a, a^2, \ldots a^{n+1}}\)
Rząd grupy wynosi \(\displaystyle{ n}\), więc dla pewnych \(\displaystyle{ 1\le k<m\le n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ a^k=a^m}\), stąd \(\displaystyle{ a^{m-k}=e}\), przy czym \(\displaystyle{ 1\le m-k \le n}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ m, k}\) by ta różnica była jak najmniejsza.
Oznaczmy dla uproszczenia \(\displaystyle{ l=m-k}\) i podzielmy z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ n=q\cdot l+r}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in \NN, \ r \in\left\{ 0,\ldots l-1\right\}}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^n=a^{q\cdot l}a^r=a^r}\).
i co teraz?
Można też od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange'a (w szczególności dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in G}\) rząd podgrupy generowanej przez element \(\displaystyle{ a}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\)), ale pewnie nie o to chodziło.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Czy dowód jest poprawny?
Tak tak rozróżniam jasne chodzi w tym o to że miałem na myśli co inne i stąd narobiłem ciut zamieszania. Ja tak myślę czasem jedno mówię co inne za co przepraszam za roztargnienie...