Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
W \(\displaystyle{ \RR^2}\) dana jest pewna norma \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|}\). Kula jednostkowa w tej normie ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\), środku w \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) i jednym z wierzchołków w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1,0\right)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|}\) nie pochodzi od iloczynu skalarnego.
Jak to zrobić?
Jak to zrobić?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Pokombinuj z regułą równoległoboku.
Zdaje się, że można od razu przywalić takim czymś, iż przestrzeń unormowana z normą pochodząca od iloczynu skalarnego jest ściśle wypukła, ale nie pamiętam jak się tego dowodzi…
Zdaje się, że można od razu przywalić takim czymś, iż przestrzeń unormowana z normą pochodząca od iloczynu skalarnego jest ściśle wypukła, ale nie pamiętam jak się tego dowodzi…
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Czyli, że ma spełniać to:
\(\displaystyle{ 2\left\langle x,x\right\rangle+2\left\langle y,y\right\rangle=\left\langle x+y,x+y\right\rangle+\left\langle x-y,x-y\right\rangle}\)
I co mam tak kombinować tymi iksami i igrekami, żeby dostać sprzeczność? Pewnie najlepiej wziać te punkty z tego sześciokąta jednak nie wiem do czego należy dążyć.
\(\displaystyle{ 2\left\langle x,x\right\rangle+2\left\langle y,y\right\rangle=\left\langle x+y,x+y\right\rangle+\left\langle x-y,x-y\right\rangle}\)
I co mam tak kombinować tymi iksami i igrekami, żeby dostać sprzeczność? Pewnie najlepiej wziać te punkty z tego sześciokąta jednak nie wiem do czego należy dążyć.
- Takahashi
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: brak
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 22 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Z każdym zbalansowanym (symetrycznym względem zera), wypukłym i pochłaniającym zbiorem \(\displaystyle{ A}\) można związać półnormę \(\displaystyle{ p(x) = \inf \{\lambda > 0: x \in \lambda A\}}\), to pokazuje się zazwyczaj na zajęciach z analizy funkcjonalnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Nie miałem analizy funkcjonalnej.
Może ktoś powie jak to należy zrobić i poda jakiś kontrprzykład?
Może ktoś powie jak to należy zrobić i poda jakiś kontrprzykład?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Przypuśćmy nie wprost, że taka norma istnieje.
Niech \(\displaystyle{ x=(1,0), \ y=\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), wówczas
\(\displaystyle{ x+y=\left( \frac 3 2 , \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \ x-y=\left( \frac 1 2, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)
Z tożsamości równoległoboku:
\(\displaystyle{ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2}\)
Zauważmy przy tym, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\) należy do sześciokąta, a więc i do "kuli jednostkowej", podobnież \(\displaystyle{ x,y}\) tak dobrałem, by należały do "kuli jednostkowej". Zatem:
\(\displaystyle{ 4=4+\|x-y\|^2}\)
czyli \(\displaystyle{ \|x-y\|=0}\), ale \(\displaystyle{ x-y}\) nie jest wektorem zerowym - sprzeczność, taka norma nie istnieje (tj. norma z taką kulą jednostkową pochodząca od iloczynu skalarnego).
-- 22 paź 2017, o 02:08 --
Wierzchołki sześciokąta foremnego można oczywiście znaleźć, rozważając równanie w zespolonych:
\(\displaystyle{ z^6=1}\). Stąd wziąłem to \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), inaczej bym sobie nie poradził, bo nie umiem liczyć (ja wiem, że wektory i symetria, ale takie jest życie :>).
Niech \(\displaystyle{ x=(1,0), \ y=\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), wówczas
\(\displaystyle{ x+y=\left( \frac 3 2 , \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \ x-y=\left( \frac 1 2, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)
Z tożsamości równoległoboku:
\(\displaystyle{ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2}\)
Zauważmy przy tym, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\) należy do sześciokąta, a więc i do "kuli jednostkowej", podobnież \(\displaystyle{ x,y}\) tak dobrałem, by należały do "kuli jednostkowej". Zatem:
\(\displaystyle{ 4=4+\|x-y\|^2}\)
czyli \(\displaystyle{ \|x-y\|=0}\), ale \(\displaystyle{ x-y}\) nie jest wektorem zerowym - sprzeczność, taka norma nie istnieje (tj. norma z taką kulą jednostkową pochodząca od iloczynu skalarnego).
-- 22 paź 2017, o 02:08 --
Wierzchołki sześciokąta foremnego można oczywiście znaleźć, rozważając równanie w zespolonych:
\(\displaystyle{ z^6=1}\). Stąd wziąłem to \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), inaczej bym sobie nie poradził, bo nie umiem liczyć (ja wiem, że wektory i symetria, ale takie jest życie :>).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego
Wiesz, zaczynasz mnie irytować swoim lenistwem. Nic by Ci się nie stało, gdybyś przez pięć minut sam się zastanowił, na przykład mając przed oczami aksjomaty normy.
\(\displaystyle{ \|x+y\|=\left \| 2\cdot \frac{x+y}{2} \right \|=\\=2\left \| \frac{x+y}{2} \right \|}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \|\alpha \cdor x\|=|\alpha|\cdot \|x\|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)
No i w w związku z tym
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2=4\left \| \frac{x+y}{2} \right \|^2=4}\)
Zatem \(\displaystyle{ \left\| \frac{x+y}{2} \right \|=1}\) orazPremislav pisze:Zauważmy przy tym, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\) należy do sześciokąta, a więc i do "kuli jednostkowej"
\(\displaystyle{ \|x+y\|=\left \| 2\cdot \frac{x+y}{2} \right \|=\\=2\left \| \frac{x+y}{2} \right \|}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \|\alpha \cdor x\|=|\alpha|\cdot \|x\|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)
No i w w związku z tym
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2=4\left \| \frac{x+y}{2} \right \|^2=4}\)