Wartość bezwzględna z liczby zespolonej równanie

[spejson_]

Czesc, mam problem z takim równaniem
|−2z|=|4z−4|
zupełnie nie mam pojecia co zrobic z ta wartoscia bezwzgledna.
Dzieki za kazda odp.

[Janusz Tracz]

Korzystam z tego że \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| z-2\right|}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{\left( x-2\right)^2+y^2 }}\)

\(\displaystyle{ x^2=(x-2)^2}\) i \(\displaystyle{ y\in\RR}\)

Jedynym rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y\in\RR}\)

można to zapisać parametryczne taką prostą \(\displaystyle{ z(t)=1+it}\) spełnia równie dla każdego rzeczywistego \(\displaystyle{ t}\)

[a4karo]

Powinno być \(\displaystyle{ |z|=2|z-1|}\)...

[Janusz Tracz]

Racja a4karo, dzięki. Robię ostatni za dużo głupich błędów, bez sensu...

\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| 2z-2\right|}\)

Po podstawianiu \(\displaystyle{ z=x+iy}\) mamy

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{(2x-2)^2+4y^2}}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2=(2x-2)^2+4y^2}\)

Po uproszczeniu

\(\displaystyle{ 3x^2-8x+3y^2+4=0}\)

\(\displaystyle{ 3x^2-8x+ \frac{16}{3}+3y^2+4- \frac{16}{3} =0}\)

\(\displaystyle{ 3\left( x- \frac{4}{3} \right)^2+3y^2= \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left( x- \frac{4}{3} \right)^2+y^2= \frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ \left( x- \frac{4}{3} \right)^2+y^2= \left( \frac{2}{3}\right)^2}\)

Czyli każdy punkt z tego okręgu spełnia równanie.