Obliczyć funkcję odwrotną

[karol235]

Przepraszam, jeżeli to nie ten dział, ale inne jeszcze bardziej wydają mi się niepasujące.

Mam obliczyć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x)= 2^{x} - 2^{-x}}\).
Próbowałem na różne sposoby, również złożeniem, ale i tak utknąłem na tym, z nie potrafię obliczyć odwrotności funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x- \frac{1}{x}}\).
Proszę o pomoc

[szw1710]

Klasyczne zadanie na początek roku akademickiego. Zapisujemy \(\displaystyle{ y=2^x-\frac{1}{2^x}}\). Chcemy wyznaczyć stąd \(\displaystyle{ x}\) jako funkcję \(\displaystyle{ y}\). W tym celu mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ 2^x}\). Wstawiając nową zmienną \(\displaystyle{ 2^x=t>0}\) dochodzimy do równania kwadratowego zmiennej dodatniej \(\displaystyle{ t}\) z parametrem \(\displaystyle{ y}\). Po drodze pojawią się dwie nierówności, które trzeba będzie wykazać: dla każdego \(\displaystyle{ y}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ y+\sqrt{y^2+4}>0}\) oraz \(\displaystyle{ y-\sqrt{y^2+4}<0}\). Pomocna jest tu oczywista nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{y^2+4}>\sqrt{y^2}=|y|}\).

Jeśli da jednoznacznie wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\), funkcja odwrotna istnieje i można pominąć wykazywanie różnowartościowości funkcji danej. Ale to robi się metodą podobną (początek) do mojej wskazówki. Więc możesz to wykonać jako pożyteczne ćwiczenie.

[Premislav]

Jak się zna funkcję area sinus hiperboliczny (odwrotną do sinusa hiperbolicznego) to wynik można prawie że od razu napisać, ponieważ \(\displaystyle{ 2^x-2^{-x}=2sinh (xln 2)}\). Jednak wyznaczenie funkcji odwrotnej do sinusa hiperbolicznego realizuje się właśnie tak, jak opisał powyżej szw1710, zatem zapewne zamysł osoby dającej to zadanie był taki, by to przeprowadzić.
Co więcej, zrobił to już Chromosom tutaj:
344532.htm#p5140251