Dowód praw rachunku zbiorów

[Sansi]

Bardzo proszę o sprawdzenie

a) \(\displaystyle{ \left( A' \cup B'\right)=A' \cap B'}\)
\(\displaystyle{ \left( A' \cup B'\right) \Leftrightarrow \neg \left( x\in A \vee x \in B\right) \Leftrightarrow \left[ \neg \left(x \in A \right) \wedge \neg \left( x \in B\right) \right] \Leftrightarrow \left( x \in A' \wedge x \in B'\right) \Leftrightarrow A' \cap B'}\)

b) \(\displaystyle{ \left( A' \cap B'\right)=A' \cup B'}\)
\(\displaystyle{ \left( A' \cap B'\right) \Leftrightarrow \neg \left( x\in A \wedge x \in B\right) \Leftrightarrow \left[ \neg \left(x \in A \right) \vee \neg \left( x \in B\right) \right] \Leftrightarrow \left( x \in A' \vee x \in B'\right) \Leftrightarrow A' \cup B'}\)

c)
\(\displaystyle{ A \cup B=B \cup A}\)
\(\displaystyle{ A \cup B \Leftrightarrow \left[ \left( x \in A\right) \vee \left( x \in B\right)\right] \Leftrightarrow \left[ \left( x \in B\right) \vee \left( x \in A\right) \right] \Leftrightarrow B \cup A}\)

d) \(\displaystyle{ A \cup \left( B \cap C\right)=\left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right)}\)
\(\displaystyle{ A \cup \left( B \cap C\right) \Leftrightarrow \left[ A \vee \left( B \wedge C\right) \right] \Leftrightarrow \left[ x \in A \vee \left( x \in B \wedge x \in C\right) \right] \Leftrightarrow \left( x \in A \vee x \in B\right) \wedge \left( x \in A \wedge x \in C\right) \Leftrightarrow \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right)}\)

[Jan Kraszewski]

a) \(\displaystyle{ \left( A' \cup B'\right)=A' \cap B'}\)
\(\displaystyle{ \left( A' \cup B'\right) \Leftrightarrow \neg \left( x\in A \vee x \in B\right) \Leftrightarrow \left[ \neg \left(x \in A \right) \wedge \neg \left( x \in B\right) \right] \Leftrightarrow \left( x \in A' \wedge x \in B'\right) \Leftrightarrow A' \cap B'}\)

Zbiór nie może być równoważny funkcji zdaniowej, więc zapis \(\displaystyle{ \left( A' \cup B'\right) \Leftrightarrow \neg \left( x\in A \vee x \in B\right)}\) nie ma sensu. Powinno być

\(\displaystyle{ \red x\in\black\left( A' \cup B'\right) \Leftrightarrow \neg \left( x\in A \vee x \in B\right) \Leftrightarrow ...}\)

To po pierwsze. Po drugie napisałaś ścianę znaczków bez słowa komentarza. Nie wiadomo, co to jest \(\displaystyle{ x}\), nie wiadomo, dlaczego te przejścia są równoważne i nie wiadomo, co z tej równoważności wynika. W pozostałych przykładach jest tak samo, poza jeszcze jednym kuriozum \(\displaystyle{ \left[ A \vee \left( B \wedge C\right) \right]}\) - spójniki logiczne nie łączą zbiorów.

Same rachunki są poprawne (pomijając uwagi o myleniu bytów), ale dla mnie same rachunki to nie dowód. Nie wiem, jak to wygląda u Ciebie.

JK

[Sansi]

Zgodnie z tym co widzę w notatkach z wykładów dopisywaliśmy jedynie na początku, że

"dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do przestrzeni (\(\displaystyle{ U}\))"

oczywiście z użyciem kwantyfikatora

[Jan Kraszewski]

No cóż, to marny dowód, ale skoro taki u Ciebie wystarcza, to musisz poprawić tylko błędy formalne.

JK