Wykazać że nierówność jest prawdziwa

[Magnificent]

Niech \(\displaystyle{ q>1, k\in\NN}\). Wykaż, że istnieje taka stała \(\displaystyle{ c>0}\), że nierówność jest prawdziwa:

\(\displaystyle{ q^{n} \ge c \cdot n^{k}}\)

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ q=(1+a)^k, \ a>0}\) (krótkim rachunkiem uzasadnij, że w świetle założeń takie \(\displaystyle{ a}\) istnieje).
Zatem nierówność przyjmuje formę \(\displaystyle{ (1+a)^{kn} \ge c\cdot n^k}\)
Z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+a)^n \ge 1+na}\), a zatem
\(\displaystyle{ q^n=(1+a)^{kn}=\left((1+a)^n\right)^k \ge (1+na)^k>n^k a^k}\)
Stąd
\(\displaystyle{ q^n\ge a^k n^k}\) dla \(\displaystyle{ a=\sqrt[k]{q}-1}\),
więc można wziąć \(\displaystyle{ c=a^k}\).-- 21 paź 2017, o 15:59 --A jak koniecznie chcesz gdzieś wcisnąć indukcję, to tę nierówność Bernoulliego, z której skorzystałem, udowodnij indukcyjnie (trudno sobie wyobrazić prostsze zadanie na indukcję).