Monotoniczność funkcji z definicji

[Sansi]

Witajcie ponownie.

Wyszukałam już tematy mówiące o tym zagadnieniu ale nadal nie jestem pewna jak to w końcu powinno być, a raczej czy dobrze to zrozumiałam.

Mam za zadanie zbadać monotoniczność funkcji z definicji.

Skoro definicja mówi:

Funkcja jest rosnąca jeśli dla dwóch dowolnych argumentów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) takich, że \(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ f( x_{1})<f(x _{2})}\).
Funkcja jest malejąca jeśli dla dwóch dowolnych argumentów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{1}}\) takich, że \(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}}\)zachodzi warunek \(\displaystyle{ f( x_{1})>f(x _{2})}\).

A więc powiedzmy, że mam taką funkcję \(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\) dziedzina \(\displaystyle{ R}\)
wybieram dwa dowolne argumenty z dziedziny, np. \(\displaystyle{ x _{1}=2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)

wybrane liczby spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\).

I teraz pojawia się moja niewiadoma. Powinna żywcem podstawić wybrane liczby do wzoru i porównać wyniki?
Czy może zgodnie z tym co napotkałam gdzieś na forum przeprowadzić coś takiego

\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2}<0 \\
f( x_{1})-f( x_{2})<0}\)

i dopiero tutaj podstawić liczby do wzoru i... No właśnie co dalej.
Po podstawieniu do \(\displaystyle{ f( x_{1})-f( x_{2})<0}\)
otrzymałam wynik \(\displaystyle{ 3(x _{1}- x_{2})<0}\)

I tak naprawdę nie wiem co dalej.

Jeśli próbowałam podstawić od razu do wzoru \(\displaystyle{ f( x_{1})<f(x _{2})}\) otrzymywałam funkcję rosnącą ponieważ \(\displaystyle{ f(2)=4}\) i \(\displaystyle{ f(3)=7}\) więc \(\displaystyle{ f(x _{1})<f( x_{2})}\)

Wyjaśni ktoś?

[Jan Kraszewski]

A więc powiedzmy, że mam taką funkcję \(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\) dziedzina \(\displaystyle{ R}\)
wybieram dwa dowolne argumenty z dziedziny, np. \(\displaystyle{ x _{1}=2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)

To akurat nie są dowolne argumenty, tylko konkretne. Wydaje się, że nie rozumiesz określenia "dowolne argumenty" (czyli nie rozumiesz kwantyfikatora ogólnego).

I teraz pojawia się moja niewiadoma. Powinna żywcem podstawić wybrane liczby do wzoru i porównać wyniki?

To do niczego nie prowadzi.

Nie ustalasz żadnych konkretnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), tylko dowolne. Ponieważ są dowolne, to nie wiesz o nich nic poza tym, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Potem liczysz różnicę \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i starasz się pokazać, że ta różnica jest zawsze dodatnia (bądź zawsze ujemna), korzystając tylko z tego, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) (w konkretnym podanym przez Ciebie przykładzie jest to proste).

Rozumowanie ma mieć charakter ogólny, bez odwoływania się do żadnych konkretnych argumentów.

JK

[Sansi]

A więc idąc tokiem teoretycznym

\(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\)

\(\displaystyle{ x_{1}< x_{2} \\
x_{1}- x_{2} <0}\)

\(\displaystyle{ f( x_{1} )<f( x_{2} ) \\
f( x_{1} )-f( x_{2} )<0}\)

\(\displaystyle{ (3 x_{1} -2) - (3x _{2}-2)<0 \\
3 x_{1} -2 - 3x _{2}+2<0 \\
3 x_{1}- 3x _{2}<0}\)

Czy po tym powinnam już uzasadniać tylko słownie czy to nie koniec obliczeń?
Naprawdę chciałabym to zrozumieć :/

[Jan Kraszewski]

Czy po tym powinnam już uzasadniać tylko słownie czy to nie koniec obliczeń?

Ja widzę tylko dużo znaczków bez śladu komentarza. Dowodu nie widzę.

Powinnaś napisać, co te znaczki znaczą, zdaniami w języku polskim. Dowód powinien wyglądać tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Mamy

\(\displaystyle{ f( x_{1} )-f( x_{2} )=(3 x_{1} -2) - (3x _{2}-2)=3 x_{1} -2 - 3x _{2}+2= 3 \left( x_{1}- x _{2}\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}- x_{2} <0}\), więc \(\displaystyle{ f( x_{1} )-f( x_{2} )<0}\), czyli \(\displaystyle{ f( x_{1} )<f( x_{2} )}\). Wobec tego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca.

JK