Witajcie ponownie.
Wyszukałam już tematy mówiące o tym zagadnieniu ale nadal nie jestem pewna jak to w końcu powinno być, a raczej czy dobrze to zrozumiałam.
Mam za zadanie zbadać monotoniczność funkcji z definicji.
Skoro definicja mówi:
Funkcja jest rosnąca jeśli dla dwóch dowolnych argumentów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) takich, że \(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ f( x_{1})<f(x _{2})}\).
Funkcja jest malejąca jeśli dla dwóch dowolnych argumentów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{1}}\) takich, że \(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}}\)zachodzi warunek \(\displaystyle{ f( x_{1})>f(x _{2})}\).
A więc powiedzmy, że mam taką funkcję \(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\) dziedzina \(\displaystyle{ R}\)
wybieram dwa dowolne argumenty z dziedziny, np. \(\displaystyle{ x _{1}=2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
wybrane liczby spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\).
I teraz pojawia się moja niewiadoma. Powinna żywcem podstawić wybrane liczby do wzoru i porównać wyniki?
Czy może zgodnie z tym co napotkałam gdzieś na forum przeprowadzić coś takiego
\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2}<0 \\
f( x_{1})-f( x_{2})<0}\)
i dopiero tutaj podstawić liczby do wzoru i... No właśnie co dalej.
Po podstawieniu do \(\displaystyle{ f( x_{1})-f( x_{2})<0}\)
otrzymałam wynik \(\displaystyle{ 3(x _{1}- x_{2})<0}\)
I tak naprawdę nie wiem co dalej.
Jeśli próbowałam podstawić od razu do wzoru \(\displaystyle{ f( x_{1})<f(x _{2})}\) otrzymywałam funkcję rosnącą ponieważ \(\displaystyle{ f(2)=4}\) i \(\displaystyle{ f(3)=7}\) więc \(\displaystyle{ f(x _{1})<f( x_{2})}\)
Wyjaśni ktoś?
Monotoniczność funkcji z definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 23 razy
Monotoniczność funkcji z definicji
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 18:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Monotoniczność funkcji z definicji
To akurat nie są dowolne argumenty, tylko konkretne. Wydaje się, że nie rozumiesz określenia "dowolne argumenty" (czyli nie rozumiesz kwantyfikatora ogólnego).Sansi pisze:A więc powiedzmy, że mam taką funkcję \(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\) dziedzina \(\displaystyle{ R}\)
wybieram dwa dowolne argumenty z dziedziny, np. \(\displaystyle{ x _{1}=2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
Sansi pisze:I teraz pojawia się moja niewiadoma. Powinna żywcem podstawić wybrane liczby do wzoru i porównać wyniki?
To do niczego nie prowadzi.
Nie ustalasz żadnych konkretnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), tylko dowolne. Ponieważ są dowolne, to nie wiesz o nich nic poza tym, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Potem liczysz różnicę \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i starasz się pokazać, że ta różnica jest zawsze dodatnia (bądź zawsze ujemna), korzystając tylko z tego, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) (w konkretnym podanym przez Ciebie przykładzie jest to proste).
Rozumowanie ma mieć charakter ogólny, bez odwoływania się do żadnych konkretnych argumentów.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 23 razy
Re: Monotoniczność funkcji z definicji
A więc idąc tokiem teoretycznym
\(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}< x_{2} \\
x_{1}- x_{2} <0}\)
\(\displaystyle{ f( x_{1} )<f( x_{2} ) \\
f( x_{1} )-f( x_{2} )<0}\)
\(\displaystyle{ (3 x_{1} -2) - (3x _{2}-2)<0 \\
3 x_{1} -2 - 3x _{2}+2<0 \\
3 x_{1}- 3x _{2}<0}\)
Czy po tym powinnam już uzasadniać tylko słownie czy to nie koniec obliczeń?
Naprawdę chciałabym to zrozumieć :/
\(\displaystyle{ f(x)=3x-2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}< x_{2} \\
x_{1}- x_{2} <0}\)
\(\displaystyle{ f( x_{1} )<f( x_{2} ) \\
f( x_{1} )-f( x_{2} )<0}\)
\(\displaystyle{ (3 x_{1} -2) - (3x _{2}-2)<0 \\
3 x_{1} -2 - 3x _{2}+2<0 \\
3 x_{1}- 3x _{2}<0}\)
Czy po tym powinnam już uzasadniać tylko słownie czy to nie koniec obliczeń?
Naprawdę chciałabym to zrozumieć :/
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 19:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Monotoniczność funkcji z definicji
Ja widzę tylko dużo znaczków bez śladu komentarza. Dowodu nie widzę.Sansi pisze:Czy po tym powinnam już uzasadniać tylko słownie czy to nie koniec obliczeń?
Powinnaś napisać, co te znaczki znaczą, zdaniami w języku polskim. Dowód powinien wyglądać tak:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Mamy
\(\displaystyle{ f( x_{1} )-f( x_{2} )=(3 x_{1} -2) - (3x _{2}-2)=3 x_{1} -2 - 3x _{2}+2= 3 \left( x_{1}- x _{2}\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}- x_{2} <0}\), więc \(\displaystyle{ f( x_{1} )-f( x_{2} )<0}\), czyli \(\displaystyle{ f( x_{1} )<f( x_{2} )}\). Wobec tego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca.
JK