Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że
\(\displaystyle{ 2 \left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right) \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+3}\)
Próbowałem zrobić to z tego że
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{ \frac{abc}{abc} }=1}\)
Zostałoby wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\)
Czego nie potrafię dowieść
Nierówność w trójkącie
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Nierówność w trójkącie
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 18:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Nierówność w trójkącie
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}-\frac{a}{c}- \frac{b}{a}- \frac{c}{b}=- \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc}}\)
Pytanie czy
\(\displaystyle{ - \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc} \ge 0}\)
a więc
\(\displaystyle{ \left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) \le 0}\)
Dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ a>b>c}\) wtedy widać że 2 iloczyny są dodatnie a 1 ujemny co kończy dowód. Gdy trójkąt jest równoramienny nierówność staje się równością.
Pytanie czy
\(\displaystyle{ - \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc} \ge 0}\)
a więc
\(\displaystyle{ \left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) \le 0}\)
Dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ a>b>c}\) wtedy widać że 2 iloczyny są dodatnie a 1 ujemny co kończy dowód. Gdy trójkąt jest równoramienny nierówność staje się równością.
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Nierówność w trójkącie
Myślałem trochę w innej kategorii, chociaż też rozpatrywałem \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\), próbowałem z tego wyjść by udowodnić że ten licznik większy od \(\displaystyle{ 0}\) to trafiłem do lasu, dzięki!
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Nierówność w trójkącie
\(\displaystyle{ \uparrow}\) Nie, no ale przecież tracimy ogólność przyjmując taki porządek.
\(\displaystyle{ L-P=\frac{(a-b+c)(a-b)^2+(a+b-c)(b-c)^2+(-a+b+c)(c-a)^2}{2abc}\ge 0}\)
\(\displaystyle{ L-P=\frac{(a-b+c)(a-b)^2+(a+b-c)(b-c)^2+(-a+b+c)(c-a)^2}{2abc}\ge 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Nierówność w trójkącie
Jak na to wpadłeś?Janusz Tracz pisze:\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}-\frac{a}{c}- \frac{b}{a}- \frac{c}{b}=- \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc}}\)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Nierówność w trójkącie
@up zapisujemy to wyrażenie jako jeden ułamek poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika, widzimy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) wyrażenie to się zeruje, więc wielomian w liczniku dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ a-b}\), z tych samych powodów dzieli się przez \(\displaystyle{ b-c}\) i przez \(\displaystyle{ c-a}\), czyli to wyrażenie jest postaci \(\displaystyle{ \lambda \cdot \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ \lambda}\) i na paluszkach sprawdzamy, że \(\displaystyle{ \lambda=1}\)
przy okazji: nierówność \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) nie miała prawa zachodzić, bo gdyby zachodziła dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) to wtedy też zachodziłoby \(\displaystyle{ \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}\ge \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}\), czyli mielibyśmy dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) równość \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) a równości nie ma co widać poprzez np. wymnożenie przez mianowniki tudzież wstawienie konkretnych liczb \(\displaystyle{ a=2, b=3, c=4}\)
przy okazji: nierówność \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) nie miała prawa zachodzić, bo gdyby zachodziła dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) to wtedy też zachodziłoby \(\displaystyle{ \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}\ge \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}\), czyli mielibyśmy dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) równość \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) a równości nie ma co widać poprzez np. wymnożenie przez mianowniki tudzież wstawienie konkretnych liczb \(\displaystyle{ a=2, b=3, c=4}\)