Wykaż z def Cauchy'ego

[Maciek414]

Udowodnić z definicji Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1 } \frac{1}{x+3}= \frac{1}{4}}\)


Próbowałem zrobić tak:
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{x+3} - \frac{1}{4} \right| < \varepsilon}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} - \varepsilon < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{4}+ \varepsilon}\)

czyli po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \frac{1-12 \varepsilon}{1+4 \varepsilon}< x < \frac{1+12 \varepsilon}{1-4 \varepsilon}}\)
W tym momencie się zaciąłem i nie bardzo wiem co zrobić dalej.
Czy w ogóle takie rozpisywanie ma jakikolwiek sens?

[Jan Kraszewski]

A czy wiesz, jak dokładnie wygląda definicja Cauchy'ego? Musisz ustalić \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i do niego dobrać \(\displaystyle{ \delta>0}\) (zapewne od niego zależną) o stosownych własnościach.

JK

[Maciek414]

Definicje znam, gorzej mi idzie jej stosowanie >.<

\(\displaystyle{ \frac{1-12 \varepsilon}{1+4 \varepsilon}< x < \frac{1+12 \varepsilon}{1-4 \varepsilon}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-16 \varepsilon}{1+4 \varepsilon} < x-1 < \frac{16 \varepsilon}{1-4 \varepsilon}}\)

wyrażenie po lewej stronie jest na pewno mniejsze od 0 dla epsilon > 0
\(\displaystyle{ 0< \left| x-1\right| < \left| \frac{16 \varepsilon}{1-4 \varepsilon\right| }}\)

jeśli uznam, że epsilon jest dowolnie małe to wtedy mogę po prawej opuścić wartość bezwzględną(?)

\(\displaystyle{ 0< \left| x-1\right| < \frac{16 \varepsilon}{1-4 \varepsilon}}\)

a więc
\(\displaystyle{ \delta = \frac{16 \varepsilon}{1-4 \varepsilon}}\)

Dobrze to zrobiłem?