Mam za zadanie znaleźć ekstrema warunkowe podanej funkcji. Korzystam z mnożników Lagrange’a i otrzymuje poniższy punkt podejrzany o ekstremum oraz poniższe maksimum warunkowe.
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \sqrt{x} + 2\sqrt{y}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ x + y = 8}\)
\(\displaystyle{ P_1= \left( \frac{8}{5}, \frac{32}{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ f_{\max } \left( P_1 \right) =2\sqrt{10}}\)
Drugim punktem podejrzanym powinien być punkt \(\displaystyle{ P_2= \left( 8,0 \right)}\), jednak nie jestem w stanie go odszukać, stąd chciałbym prosić o pomoc, ponieważ nie wiem gdzie popełniam błąd i dlaczego otrzymuje tylko jeden punkt podejrzany.
Ekstrema warunkowe funkcji
Ekstrema warunkowe funkcji
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 16:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Ekstrema warunkowe funkcji
Jak na pałę policzyłem pochodne funkcji Lagrange'a, to wyszło mi to samo co Tobie. Moim zdaniem trzeba tutaj nieco szerzej spojrzeć na sprawę, w szczególności na dziedzinę, bo dziedzina tych pochodnych cząstkowych jest nieco inna niż dziedzina funkcji. Skoro \(\displaystyle{ L' _y = \frac{1}{ \sqrt{y}} + \lambda}\), to jak może wyjść z tego \(\displaystyle{ y = 0}\)? A no nie może.
Podobnie rozważmy przykład funkcji jednej zmiennej: \(\displaystyle{ h(x) = \sqrt{x}}\). Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ [0, \infty)}\) i wiadomo, że minimum tej funkcji jest w \(\displaystyle{ x=0}\), ale po mechanicznym policzeniu pochodnej nie da się dojść do tego wniosku, bo i jak...
Przy zadaniu z ograniczeniem liniowym możesz łatwo przecież wyznaczyć jedną zmienną w zależności od drugiej (z warunku \(\displaystyle{ g(x) = 0}\)) i wstawić to do \(\displaystyle{ f}\), a otrzymasz funkcję jednej zmiennej.
Jeśli chcesz udowodnić, że jakiś punkt, który nie należy do dziedziny pochodnej, jest ekstremum lokalnym funkcji, to musisz to chyba zrobić z definicji, mianowicie musisz pokazać, że istnieje pewne otoczenie punktu \(\displaystyle{ x_0}\) (czy też wektora - bo to pozostaje w mocy również dla funkcji wielu zmiennych), takie że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) z tego otoczenia zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \ge f(x_0)}\) (albo \(\displaystyle{ f (x) \le f(x_0)}\) - zależy czy chodzi o minimum czy o maksimum). Tego nie da się już zrobić mechanicznie, najczęściej trzeba pomyśleć i atakować na kilka sposobów.
Nie mam teraz pomysłu jak to pokazać w przypadku funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\). Gdyby wyrugować jedną zmienną i rozpatrywać tylko \(\displaystyle{ f(x)}\), to może byłoby łatwiej, ale gdy trafi się ograniczenie nieliniowe, to już nic nie poradzimy.
Łatwiej pokazać, że taki punkt stacjonarny (czy jak on się tam nazywał) nie jest ekstremum, bo wtedy wystarczy na przykład dobrać taki ciąg argumentów zbieżny do \(\displaystyle{ f(x_0)}\), że odpowiadający mu ciąg argumentów raz jest powyżej, a innym razem poniżej \(\displaystyle{ f(x_0)}\). No a pokazanie, że coś zachodzi dla wszystkich ciągów jest trudniejsze, niż wskazanie jednego kontrprzykładu. Niech ktoś mądrzejszy ode mnie to zrobi
Podobnie rozważmy przykład funkcji jednej zmiennej: \(\displaystyle{ h(x) = \sqrt{x}}\). Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ [0, \infty)}\) i wiadomo, że minimum tej funkcji jest w \(\displaystyle{ x=0}\), ale po mechanicznym policzeniu pochodnej nie da się dojść do tego wniosku, bo i jak...
Przy zadaniu z ograniczeniem liniowym możesz łatwo przecież wyznaczyć jedną zmienną w zależności od drugiej (z warunku \(\displaystyle{ g(x) = 0}\)) i wstawić to do \(\displaystyle{ f}\), a otrzymasz funkcję jednej zmiennej.
Jeśli chcesz udowodnić, że jakiś punkt, który nie należy do dziedziny pochodnej, jest ekstremum lokalnym funkcji, to musisz to chyba zrobić z definicji, mianowicie musisz pokazać, że istnieje pewne otoczenie punktu \(\displaystyle{ x_0}\) (czy też wektora - bo to pozostaje w mocy również dla funkcji wielu zmiennych), takie że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) z tego otoczenia zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \ge f(x_0)}\) (albo \(\displaystyle{ f (x) \le f(x_0)}\) - zależy czy chodzi o minimum czy o maksimum). Tego nie da się już zrobić mechanicznie, najczęściej trzeba pomyśleć i atakować na kilka sposobów.
Nie mam teraz pomysłu jak to pokazać w przypadku funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\). Gdyby wyrugować jedną zmienną i rozpatrywać tylko \(\displaystyle{ f(x)}\), to może byłoby łatwiej, ale gdy trafi się ograniczenie nieliniowe, to już nic nie poradzimy.
Łatwiej pokazać, że taki punkt stacjonarny (czy jak on się tam nazywał) nie jest ekstremum, bo wtedy wystarczy na przykład dobrać taki ciąg argumentów zbieżny do \(\displaystyle{ f(x_0)}\), że odpowiadający mu ciąg argumentów raz jest powyżej, a innym razem poniżej \(\displaystyle{ f(x_0)}\). No a pokazanie, że coś zachodzi dla wszystkich ciągów jest trudniejsze, niż wskazanie jednego kontrprzykładu. Niech ktoś mądrzejszy ode mnie to zrobi
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Ekstrema warunkowe funkcji
Dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f: \ [0,+\infty)\times[0,+\infty)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, a prościej będzie liczyć dla
\(\displaystyle{ f^2(x,y)=x+4y+4\sqrt{xy}=8+3y+4\sqrt{xy}}\)
(skorzystałem z warunku \(\displaystyle{ x+y=8}\)).
Po spojrzeniu na dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\) widzimy, że w interesującym nas obszarze jest
\(\displaystyle{ f^2(x,y)\ge 8}\) (bo dwa kolejne składniki są nieujemne dla \(\displaystyle{ x,y\ge 0}\)), więc
\(\displaystyle{ f^2(x,y) \ge 8}\) przy warunku z zadania i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=8, y=0}\) (czyli \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 2\sqrt{2}}\) z równością jak wyżej).
Rachunkiem różniczkowym tego przypadku raczej nie zrobisz, bo gradient funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie jest określony w punkcie \(\displaystyle{ (8,0)}\), zresztą jak patrzę to już NogaWeza o tym pisał.
-- 19 paź 2017, o 18:54 --
Nawiasem mówiąc, maksimum przy tym warunku też nie trzeba wcale liczyć z zastosowaniem pochodnych (choć metoda mnożników Lagrange'a jest niezawodna w przypadku zbiorów zwartych, to bywa też odrobinę uciążliwa rachunkowo - ja tam wolę jakoś przekształcić i rozważać pochodną funkcji jednej zmiennej, jak wyżej proponował mój poprzednik).
Wykorzystamy w tym celu znaną nierówność \(\displaystyle{ (a-b)^2\ge 0}\) w rzeczywistych i warunki zadania.
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\) i \(\displaystyle{ t\neq 0}\) jest
\(\displaystyle{ \sqrt{x}+2\sqrt{y} \le t^2 x+t^2 y+ \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4t^2} \Leftrightarrow \left( t\sqrt{x}-\frac {1}{2t}\right)+\left( t\sqrt{y}-\frac 1 t\right)^2\ge 0}\)
i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{4t^4}, \ y= \frac{1}{t^4}}\)
Ale wiemy, że przy naszym warunku ma być
\(\displaystyle{ 8=x+y= \frac{1}{4t^4} +\frac{1}{t^4}}\)
i po podstawieniu \(\displaystyle{ u=t^2}\) dostaniemy stąd, że ma być
\(\displaystyle{ t^2=u=\sqrt{\frac{32}{5}}}\),
zostawiam to do dokończenia.
Adnotacja: taki sposób jest sprytny (bo ja jestem inteligentny i sprytny lol hehe iksde, a tak na serio to po prostu mam spore doświadczenie), ale nie zawsze tego typu sztuczki zadziałają.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, a prościej będzie liczyć dla
\(\displaystyle{ f^2(x,y)=x+4y+4\sqrt{xy}=8+3y+4\sqrt{xy}}\)
(skorzystałem z warunku \(\displaystyle{ x+y=8}\)).
Po spojrzeniu na dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\) widzimy, że w interesującym nas obszarze jest
\(\displaystyle{ f^2(x,y)\ge 8}\) (bo dwa kolejne składniki są nieujemne dla \(\displaystyle{ x,y\ge 0}\)), więc
\(\displaystyle{ f^2(x,y) \ge 8}\) przy warunku z zadania i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=8, y=0}\) (czyli \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 2\sqrt{2}}\) z równością jak wyżej).
Rachunkiem różniczkowym tego przypadku raczej nie zrobisz, bo gradient funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie jest określony w punkcie \(\displaystyle{ (8,0)}\), zresztą jak patrzę to już NogaWeza o tym pisał.
-- 19 paź 2017, o 18:54 --
Nawiasem mówiąc, maksimum przy tym warunku też nie trzeba wcale liczyć z zastosowaniem pochodnych (choć metoda mnożników Lagrange'a jest niezawodna w przypadku zbiorów zwartych, to bywa też odrobinę uciążliwa rachunkowo - ja tam wolę jakoś przekształcić i rozważać pochodną funkcji jednej zmiennej, jak wyżej proponował mój poprzednik).
Wykorzystamy w tym celu znaną nierówność \(\displaystyle{ (a-b)^2\ge 0}\) w rzeczywistych i warunki zadania.
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\) i \(\displaystyle{ t\neq 0}\) jest
\(\displaystyle{ \sqrt{x}+2\sqrt{y} \le t^2 x+t^2 y+ \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4t^2} \Leftrightarrow \left( t\sqrt{x}-\frac {1}{2t}\right)+\left( t\sqrt{y}-\frac 1 t\right)^2\ge 0}\)
i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{4t^4}, \ y= \frac{1}{t^4}}\)
Ale wiemy, że przy naszym warunku ma być
\(\displaystyle{ 8=x+y= \frac{1}{4t^4} +\frac{1}{t^4}}\)
i po podstawieniu \(\displaystyle{ u=t^2}\) dostaniemy stąd, że ma być
\(\displaystyle{ t^2=u=\sqrt{\frac{32}{5}}}\),
zostawiam to do dokończenia.
Adnotacja: taki sposób jest sprytny (bo ja jestem inteligentny i sprytny lol hehe iksde, a tak na serio to po prostu mam spore doświadczenie), ale nie zawsze tego typu sztuczki zadziałają.