Mamy dwa niepuste zbiory: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), takie że: \(\displaystyle{ A \subset B}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)
No i trzeba to udowodnić. Oto moje wypociny:
\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)
Z definicji sumy zbiorów wiemy, że: \(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ A \subset B}\) to z definicji inkluzji wynika, że: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in B \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \cup B \Leftrightarrow x \in B}\)
Co było do okazania.
Jest dobrze?
Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B
To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.Rozbitek pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)
To nie jest definicja inkluzji.Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 486
- Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 8 razy
Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B
Chodzi o to, że suma zbiorów A i B jest zbiorem B.Jan Kraszewski pisze:To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.Rozbitek pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)
No to mnie oszukali w podręczniku.Jan Kraszewski pisze:To nie jest definicja inkluzji.Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)
Pierwszy błąd chyba widzę:
\(\displaystyle{ A \cup B = B}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów
Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B
Nie sądzę - raczej Ty zastosowałeś podręcznikową definicję bez zrozumienia.Rozbitek pisze:No to mnie oszukali w podręczniku.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 486
- Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów
\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?karolex123 pisze:Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów
Definicja tak. Wpadałoby teraz w dowodzie zaznaczyć ten kwantyfikator, zaczynając go od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\)". Potem jest w zasadzie dobrze, choć dużo lepiej wyglądałoby to, gdybyś zapisał to samo rozumowanie zdaniami w języku polskim:Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?
"Skoro \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\), to \(\displaystyle{ a\in A}\) lub \(\displaystyle{ a\in B}\). Jeśli teraz \(\displaystyle{ a\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a\in B}\), zatem w obu przypadkach \(\displaystyle{ a\in B}\), czyli (z def. zawierania) \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq B}\)."
Jak widzisz, jeśli tezą było \(\displaystyle{ A\cup B\red=\black B}\), to musisz jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ B \subseteq A\cup B}\) (prosta własność sumy zbiorów) oraz skorzystać z tego, że równość zbiorów jest tożsama z dwoma zawieraniami.
JK