Ekstrema warunkowe funkcji

[Rodney]

Witam,

w zadaniu należy znaleźć ekstrema warunkowe funkcji. Chciałbym prosić o sprawdzenie rozwiązanego przeze mnie układu równań, ponieważ nie jestem pewien co do poprawności uzyskanych przez mnie wyników.

\(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}+16}\)

Stosując mnożniki Lagrange’a obliczam poszczególne pochodne i otrzymuje poniższy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}y-2\lambda\ x=0\\x-2\lambda\ y=0\\-x^{2} -y^{2}+16=0\end{cases}}\)

Z pierwszych dwóch równań wyznaczam x i y

\(\displaystyle{ y=2\lambda\ x}\)
\(\displaystyle{ x=2\lambda\ y}\)

Podstawiam x do trzeciego równania i otrzymuje

\(\displaystyle{ (2\lambda\ y)^{2}+y^{2}=16}\)

\(\displaystyle{ y^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)

Podstawiam y do trzeciego równania i otrzymuje

\(\displaystyle{ x^{2}+(2\lambda\ x)^{2}=16}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)

Zgodnie z tym, że \(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}}\) podstawiam \(\displaystyle{ x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}}\) do trzeciego równania i otrzymuje

\(\displaystyle{ x^{2}+x^{2}=16}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-2\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ y^{2}+y^{2}=16}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=-2\sqrt{2}}\)

Czy w związku tym poniższe punkty są punktami podejrzanymi?

\(\displaystyle{ P_{1}=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})}\)

[Premislav]

Chyba miało być \(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\)
Mamy \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x^2+y^{2}}{2} \ge xy}\)
i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y}\), stąd przy tym warunku jest
\(\displaystyle{ xy \le 8}\), równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=2\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=y=-2\sqrt{2}}\)
W ogóle to mamy \(\displaystyle{ |xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}= \frac{|x|^2+|y|^2}{2}}\), więc też
\(\displaystyle{ xy \ge - \frac{x^2+y^2}{2}=-8}\)
i równość mamy choćby dla \(\displaystyle{ x=2\sqrt{2}, \ y=-2\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=-2\sqrt{2}, \ y=2\sqrt{2}}\).
I nie trzeba żadnego rachunku różniczkowego.

[szw1710]

Warunek oczywiście to \(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\). Wstawiamy \(\displaystyle{ x=4\cos t}\) oraz \(\displaystyle{ y=4\sin t}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le t\le 2\pi}\). Mamy \(\displaystyle{ \varphi(t)=xy=16\sin t\cos t=8\sin 2t}\). Wartość największa to \(\displaystyle{ 8}\) przyjmowana dla \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ t=\frac{5}{4}\pi}\). Odpowiada to \(\displaystyle{ x=2\sqrt{2},y=2\sqrt{2}}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ x=-2\sqrt{2},y=-2\sqrt{2}.}\) W takich punktach \(\displaystyle{ f}\) ma maksimum warunkowe. Minima warunkowe znajdź sobie sam.

Jak widać - mnożniki Lagrange'a to armata na muchy, bo zadanie jest proste jak konstrukcja cepa.

[a4karo]

Można i bez rachunków. Zbiór \(\displaystyle{ \{(x,y):xy={\rm const}\}}\) jest hiperbolą, czy czy im większa stała, tym bardziej hiperbola jest oddalona od początku układu. A to, ze względu na symetrię obrazka względem głównych przekątnych jest równoważne maksymalnemu oddaleniu punkty postaci \(\displaystyle{ (x,x)}\). Łatwo znaleźć taki punkt na kółku.

[Rodney]

Dziękuje za udzielone odpowiedzi. Ostatecznie uzyskałem poniższe punkty i ekstrema warunkowe.

\(\displaystyle{ P_1=(2 \sqrt{2},2 \sqrt{2}) \\
P_2=(-2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2}) \\
P_3=(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2}) \\
P_4=(-2 \sqrt{2},2 \sqrt{2})}\)

\(\displaystyle{ f_{\max }(P_1)=8 \\
f_{\max }(P_2)=8 \\
f_{\min }(P_3)=-8 \\
f_{\min }(P_4)=-8}\)