równanie z czterema pierwiastkami

klimat · Post autor: **klimat** » 19 paź 2017, o 09:27

Sprwdz czy równanie \(\displaystyle{ x^4-9x^3+30x^2-ax+b=0}\) ma cztery pierwiastki gdy \(\displaystyle{ 9a+2b \le 444.}\)

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 19 paź 2017, o 11:03

Przy takim zwrocie nierówności odpowiedź nie jest jednoznaczna.
Rachunek różniczkowy daje następujący dopuszczalny zakres parametrów dla istnienia czterech różnych pierwiastków rzeczywistych: \(\displaystyle{ a\in\left(\frac{175}{4},\frac{176}{4}\right),\ b\in\left(\frac{6075}{256},\frac{6084}{256}\right)}\)
Wszystkie pary liczb należących odpowiednio do tych przedziałów spełniają nierówność z zadania, ale nie są to jedyne pary ją spełniające.

EDIT: Łał, chyba naplotłam andronów. Spróbuję to później poprawić, jeżeli nikt nie da rozwiązania.

klimat · Post autor: **klimat** » 20 paź 2017, o 08:10

Czy moze ktoś jeszcze zweryfikować tę tezę?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 20 paź 2017, o 11:50

Podany wcześniej dopuszczalny zakres \(\displaystyle{ a}\) jest OK. Obliczenia dla \(\displaystyle{ b}\) wymagałyby wyznaczenia supremum minimów i infimum maksimów po wszystkich wartościach \(\displaystyle{ a}\), ale nie musimy tego robić. Żeby zweryfikować stwierdzenie, że nie można dać jednoznacznej odpowiedzi na pytanie z zadania, wystarczy podać przykład. Przykłady policzone na szybko na komputerze - możliwe, że znalazłyby się prostsze.
Wielomian \(\displaystyle{ x^4-9x^3+30x^2-\frac{351}{8}x+\frac{97335}{4096}}\) ma cztery pierwiastki rzeczywiste, zaś wielomian \(\displaystyle{ x^4-9x^3+30x^2-\frac{341}{8}x+\frac{165}{8}}\) ma tylko dwa pierwiastki rzeczywiste, mimo że w obu przypadkach nierówność z zadania jest spełniona.

EDIT: Dopisuję przy okazji poprawek spójności oznaczeń i redakcji tekstu.
Wielomian \(\displaystyle{ x^4-9x^3+30x^2-\frac{57}{4}x+\frac{18007}{4096}}\) z kolei nie ma pierwiastków rzeczywistych w ogóle, a nierówność wciąż jest spełniona.