Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że

[Lugier132]

1)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(n-2n^2)\right=-\infty}\)
Cześć, mam problem z wykazaniem tego z definicji, bo o ile w internecie jest dużo wyjaśnień jak postępować w przypadku granicy właściwej, to odpowiedzi w przypadku, gdy granica dąży do nieskończności nie znalazłem. Wiem, że trzeba zastosować ten wzorek:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_A \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} a_{n}<A}\)
ale nie wiem jak go przekształcić na potrzeby zadania.
2)
Moje drugie pytanie dotyczy przypadku gdy granica jest skończona:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\epsilon>0} \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} |a_{n}-g|<\epsilon}\)
Na wykładzie pani profesor napisała w trakcie wykazywania coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n+2}<\frac{1}{4n}<\epsilon}\)
czy to oznacza, że mogę "rozszerzać" otoczenie jak chcę? np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2+n}<\frac{1}{n}<\epsilon}\)
3)
Czy podczas dowodzenia możemy zastosować równanie kwadratowe? Mam co do tego wątpliwości bo ze wzoru wynika, że \(\displaystyle{ n>\delta}\) , widzę tu tylko jeden przedział liczbowy, a nie dwa jak w przypadku równania kwadratowego.

Prosiłbym o wskazówki albo wyprowadzenie mnie z błędnego rozumowania

[janusz47]

1.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(n -2n^2 \right) = -\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{m<0}\bigvee_{k\in N} \bigwedge_{n>k}( n^2 - 2n < m )}\)

Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.

Analiza zadania, w której poszukujemy liczby \(\displaystyle{ k.}\)

\(\displaystyle{ n - 2n^2 \leq n - n^2 < m.}\)

Jeśli spełnimy ostatnią nierówność, gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest dowolną ustaloną liczbą ujemną to tym bardziej spełnimy nierówność \(\displaystyle{ n - 2n^2< m.}\)

Z rozwiązania nierówności kwadratowej

\(\displaystyle{ -n^2 + n -m <0}\)

wynika, że aby spełnić nierówność \(\displaystyle{ n - n^2 <m}\)wystarczy spełnić nierówność

\(\displaystyle{ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)

Teraz za \(\displaystyle{ k}\) wystarczy przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \(\displaystyle{ k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)

Można dostrzec, że dowód jest zakończony. Ze względów dydaktycznych podajemy go niżej w sposób wyraźny.

Niech dana będzie liczba \(\displaystyle{ m < 0,}\) dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ k >\frac{1+\sqrt{1- 4m}}{2}}\) oraz dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n > k.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ n> k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n -n^2 < m, \ \ n-
2n^2 < m.}\)

c.b.d.o.

[Lugier132]

Dziekuję za odpowiedź trochę mi to rozjaśnia sposób w jaki należy postępować ale mam pewne wątpliwości.
1)Wydaje mi się, że w pierwszej linijce na końcu powinno być:
\(\displaystyle{ (n-2n^2<m)}\)
zamiast:

\(\displaystyle{ (n^2-n<m)}\)

2) Mamy nierówność:
\(\displaystyle{ -n^2+n-m<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=1-4m}\)
\(\displaystyle{ n1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
\(\displaystyle{ n2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}}\)
Tak więc powiedziałbym raczej, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
, a nie, że:

\(\displaystyle{ n>\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)

Myślę, że pana post pomoże mi w zrozumieniu tego, ale jest to jak na razie dla mnie co najmniej "nietypowe"

[janusz47]

Lugierze132

Jak się rozwiązuje nierówności kwadratowe ?

Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?

W naszym przypadku na pierwiastek \(\displaystyle{ n_{2}: n_{2}> n_{1}?}\)

Tu nie możemy nic kombinować ze znakami!

[Lugier132]

Przepraszam, ale nie rozumiem, wydaje mi się że podałem prawidłowe wzory.
Może przedstawię moje rozumowanie:
Z nierówności kwadratowej wyszedł mi wynik:
\(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \right) \cup \left( \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}, +\infty \right)}\)
Wydawało mi się, że do tego zadania muszę wyodrębnić wartość \(\displaystyle{ n}\) większego od czegoś więc wywnioskowałem, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)

[janusz47]

Dobrze napisałeś rozwiązanie nierówności kwadratowej, ponieważ \(\displaystyle{ -b= 1, a = -1}\)

[Lugier132]

Ale \(\displaystyle{ 2 \cdot a}\) w mianowniku jest także ujemne, bo \(\displaystyle{ a=-1}\)

[janusz47]

Masz rację! Tempa moja wieczorna głowa. Poprawiam.

[Premislav]

Wieczorna głowa może nie wytrzymywać tempa na forum, ale jest (albo nie jest - nie mnie oceniać) tępa.
Moim zdaniem można zauważyć, że \(\displaystyle{ n-2n^2=(n-n^2)-n^2 =n(1-n)-n^2<-n^2}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i nie babrać się z takimi abominacjami jak wyróżniki trójmianów itd.
Jeżeli bowiem znajdziemy dla ustalonego \(\displaystyle{ m<0}\) takie \(\displaystyle{ n_m}\), aby
\(\displaystyle{ -n_{m}^2<m}\) (wystarczy wziąć w tym celu np. \(\displaystyle{ n_m=\left\lceil \sqrt{-m}\right\rceil}\))
dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\) spełniających \(\displaystyle{ n>n_m}\), to tym bardziej zajdzie wówczas
\(\displaystyle{ n-2n^2<m}\).

[Lugier132]

Ok, wielkie dzięki za te dwie odpowiedzi, myślę że już to rozumiem,
temat uważam za zamknięty, jeszcze raz dziękuję.

[janusz47]

Akurat te abominacje wyróżników są w szacowaniu w tym przypadku bardziej dokładne, niż \(\displaystyle{ Enier(\sqrt{-m}).}\)