Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
1)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(n-2n^2)\right=-\infty}\)
Cześć, mam problem z wykazaniem tego z definicji, bo o ile w internecie jest dużo wyjaśnień jak postępować w przypadku granicy właściwej, to odpowiedzi w przypadku, gdy granica dąży do nieskończności nie znalazłem. Wiem, że trzeba zastosować ten wzorek:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_A \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} a_{n}<A}\)
ale nie wiem jak go przekształcić na potrzeby zadania.
2)
Moje drugie pytanie dotyczy przypadku gdy granica jest skończona:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\epsilon>0} \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} |a_{n}-g|<\epsilon}\)
Na wykładzie pani profesor napisała w trakcie wykazywania coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n+2}<\frac{1}{4n}<\epsilon}\)
czy to oznacza, że mogę "rozszerzać" otoczenie jak chcę? np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2+n}<\frac{1}{n}<\epsilon}\)
3)
Czy podczas dowodzenia możemy zastosować równanie kwadratowe? Mam co do tego wątpliwości bo ze wzoru wynika, że \(\displaystyle{ n>\delta}\) , widzę tu tylko jeden przedział liczbowy, a nie dwa jak w przypadku równania kwadratowego.
Prosiłbym o wskazówki albo wyprowadzenie mnie z błędnego rozumowania
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(n-2n^2)\right=-\infty}\)
Cześć, mam problem z wykazaniem tego z definicji, bo o ile w internecie jest dużo wyjaśnień jak postępować w przypadku granicy właściwej, to odpowiedzi w przypadku, gdy granica dąży do nieskończności nie znalazłem. Wiem, że trzeba zastosować ten wzorek:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_A \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} a_{n}<A}\)
ale nie wiem jak go przekształcić na potrzeby zadania.
2)
Moje drugie pytanie dotyczy przypadku gdy granica jest skończona:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\epsilon>0} \bigvee\limits_\delta \bigwedge\limits_{n>\delta} |a_{n}-g|<\epsilon}\)
Na wykładzie pani profesor napisała w trakcie wykazywania coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n+2}<\frac{1}{4n}<\epsilon}\)
czy to oznacza, że mogę "rozszerzać" otoczenie jak chcę? np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2+n}<\frac{1}{n}<\epsilon}\)
3)
Czy podczas dowodzenia możemy zastosować równanie kwadratowe? Mam co do tego wątpliwości bo ze wzoru wynika, że \(\displaystyle{ n>\delta}\) , widzę tu tylko jeden przedział liczbowy, a nie dwa jak w przypadku równania kwadratowego.
Prosiłbym o wskazówki albo wyprowadzenie mnie z błędnego rozumowania
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
1.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(n -2n^2 \right) = -\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{m<0}\bigvee_{k\in N} \bigwedge_{n>k}( n^2 - 2n < m )}\)
Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.
Analiza zadania, w której poszukujemy liczby \(\displaystyle{ k.}\)
\(\displaystyle{ n - 2n^2 \leq n - n^2 < m.}\)
Jeśli spełnimy ostatnią nierówność, gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest dowolną ustaloną liczbą ujemną to tym bardziej spełnimy nierówność \(\displaystyle{ n - 2n^2< m.}\)
Z rozwiązania nierówności kwadratowej
\(\displaystyle{ -n^2 + n -m <0}\)
wynika, że aby spełnić nierówność \(\displaystyle{ n - n^2 <m}\)wystarczy spełnić nierówność
\(\displaystyle{ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)
Teraz za \(\displaystyle{ k}\) wystarczy przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \(\displaystyle{ k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)
Można dostrzec, że dowód jest zakończony. Ze względów dydaktycznych podajemy go niżej w sposób wyraźny.
Niech dana będzie liczba \(\displaystyle{ m < 0,}\) dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ k >\frac{1+\sqrt{1- 4m}}{2}}\) oraz dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n > k.}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ n> k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n -n^2 < m, \ \ n-
2n^2 < m.}\)
c.b.d.o.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(n -2n^2 \right) = -\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{m<0}\bigvee_{k\in N} \bigwedge_{n>k}( n^2 - 2n < m )}\)
Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.
Analiza zadania, w której poszukujemy liczby \(\displaystyle{ k.}\)
\(\displaystyle{ n - 2n^2 \leq n - n^2 < m.}\)
Jeśli spełnimy ostatnią nierówność, gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest dowolną ustaloną liczbą ujemną to tym bardziej spełnimy nierówność \(\displaystyle{ n - 2n^2< m.}\)
Z rozwiązania nierówności kwadratowej
\(\displaystyle{ -n^2 + n -m <0}\)
wynika, że aby spełnić nierówność \(\displaystyle{ n - n^2 <m}\)wystarczy spełnić nierówność
\(\displaystyle{ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)
Teraz za \(\displaystyle{ k}\) wystarczy przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \(\displaystyle{ k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}.}\)
Można dostrzec, że dowód jest zakończony. Ze względów dydaktycznych podajemy go niżej w sposób wyraźny.
Niech dana będzie liczba \(\displaystyle{ m < 0,}\) dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ k >\frac{1+\sqrt{1- 4m}}{2}}\) oraz dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n > k.}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ n> k > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n > \frac{1 +\sqrt{1- 4m}}{2}, \ \ n -n^2 < m, \ \ n-
2n^2 < m.}\)
c.b.d.o.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2017, o 23:41 przez janusz47, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Dziekuję za odpowiedź trochę mi to rozjaśnia sposób w jaki należy postępować ale mam pewne wątpliwości.
1)Wydaje mi się, że w pierwszej linijce na końcu powinno być:
\(\displaystyle{ (n-2n^2<m)}\)
zamiast:
\(\displaystyle{ -n^2+n-m<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=1-4m}\)
\(\displaystyle{ n1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
\(\displaystyle{ n2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}}\)
Tak więc powiedziałbym raczej, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
, a nie, że:
1)Wydaje mi się, że w pierwszej linijce na końcu powinno być:
\(\displaystyle{ (n-2n^2<m)}\)
zamiast:
2) Mamy nierówność:\(\displaystyle{ (n^2-n<m)}\)
\(\displaystyle{ -n^2+n-m<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=1-4m}\)
\(\displaystyle{ n1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
\(\displaystyle{ n2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{-2}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}}\)
Tak więc powiedziałbym raczej, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
, a nie, że:
Myślę, że pana post pomoże mi w zrozumieniu tego, ale jest to jak na razie dla mnie co najmniej "nietypowe"\(\displaystyle{ n>\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Lugierze132
Jak się rozwiązuje nierówności kwadratowe ?
Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?
W naszym przypadku na pierwiastek \(\displaystyle{ n_{2}: n_{2}> n_{1}?}\)
Tu nie możemy nic kombinować ze znakami!
Jak się rozwiązuje nierówności kwadratowe ?
Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?
W naszym przypadku na pierwiastek \(\displaystyle{ n_{2}: n_{2}> n_{1}?}\)
Tu nie możemy nic kombinować ze znakami!
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Przepraszam, ale nie rozumiem, wydaje mi się że podałem prawidłowe wzory.
Może przedstawię moje rozumowanie:
Z nierówności kwadratowej wyszedł mi wynik:
\(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \right) \cup \left( \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}, +\infty \right)}\)
Wydawało mi się, że do tego zadania muszę wyodrębnić wartość \(\displaystyle{ n}\) większego od czegoś więc wywnioskowałem, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
Może przedstawię moje rozumowanie:
Z nierówności kwadratowej wyszedł mi wynik:
\(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \right) \cup \left( \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}, +\infty \right)}\)
Wydawało mi się, że do tego zadania muszę wyodrębnić wartość \(\displaystyle{ n}\) większego od czegoś więc wywnioskowałem, że:
\(\displaystyle{ n>\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 09:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Dobrze napisałeś rozwiązanie nierówności kwadratowej, ponieważ \(\displaystyle{ -b= 1, a = -1}\)
Ostatnio zmieniony 18 paź 2017, o 23:44 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Ale \(\displaystyle{ 2 \cdot a}\) w mianowniku jest także ujemne, bo \(\displaystyle{ a=-1}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 09:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Wieczorna głowa może nie wytrzymywać tempa na forum, ale jest (albo nie jest - nie mnie oceniać) tępa.
Moim zdaniem można zauważyć, że \(\displaystyle{ n-2n^2=(n-n^2)-n^2 =n(1-n)-n^2<-n^2}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i nie babrać się z takimi abominacjami jak wyróżniki trójmianów itd.
Jeżeli bowiem znajdziemy dla ustalonego \(\displaystyle{ m<0}\) takie \(\displaystyle{ n_m}\), aby
\(\displaystyle{ -n_{m}^2<m}\) (wystarczy wziąć w tym celu np. \(\displaystyle{ n_m=\left\lceil \sqrt{-m}\right\rceil}\))
dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\) spełniających \(\displaystyle{ n>n_m}\), to tym bardziej zajdzie wówczas
\(\displaystyle{ n-2n^2<m}\).
Moim zdaniem można zauważyć, że \(\displaystyle{ n-2n^2=(n-n^2)-n^2 =n(1-n)-n^2<-n^2}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i nie babrać się z takimi abominacjami jak wyróżniki trójmianów itd.
Jeżeli bowiem znajdziemy dla ustalonego \(\displaystyle{ m<0}\) takie \(\displaystyle{ n_m}\), aby
\(\displaystyle{ -n_{m}^2<m}\) (wystarczy wziąć w tym celu np. \(\displaystyle{ n_m=\left\lceil \sqrt{-m}\right\rceil}\))
dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\) spełniających \(\displaystyle{ n>n_m}\), to tym bardziej zajdzie wówczas
\(\displaystyle{ n-2n^2<m}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 15:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Ok, wielkie dzięki za te dwie odpowiedzi, myślę że już to rozumiem,
temat uważam za zamknięty, jeszcze raz dziękuję.
temat uważam za zamknięty, jeszcze raz dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
Akurat te abominacje wyróżników są w szacowaniu w tym przypadku bardziej dokładne, niż \(\displaystyle{ Enier(\sqrt{-m}).}\)