Granica ciągu, gdzie robię błąd?

[Maciek414]

Gdzie robię błąd?

Szukamy granicy ciągu o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ u_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\
u_n= \left( 1+ \frac{-n^2+1}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\
u_n= \left( \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{-n^2+1}{2n^2+1}\cdot n^2} \\
\lim_{ n\to \infty } = \left( e \right) ^{\frac{-n^2+1}{2n^2+1} \cdot n^2} = \left[ e^{- \infty } \right] =0}\)

Odpowiedź według książki to \(\displaystyle{ e ^{ \frac{3}{2} }}\)
Z góry dziękuję. ^^

[Premislav]

Odpowiedź z książki z pewnością jest niepoprawna (jeśli przykład dobrze przepisałeś), granica rzeczywiście wynosi \(\displaystyle{ 0}\), natomiast Twoje podejście jest całkowicie błędne i wychodzi dobrze tylko przypadkiem.
Ponieważ nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \frac{2n^2+1}{-n^2+1} } =0}\), więc nie można tutaj korzystać z liczby \(\displaystyle{ e}\) jako granicy odpowiedniego ciągu (czy ogólniej funkcji), a ponadto przechodzisz w jednym miejscu do granicy, a w drugim zostawiasz \(\displaystyle{ n}\), to też błąd, choć tu akurat mniej ważny.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{2n^2+1}=\frac 1 2}\) i zaraz będzie po zadaniu.

[Maciek414]

Racja, jak się uczyłem, umknęło mi, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } (1+a_n)^\frac{1}{a_n}=e}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=0}\)
To w sumie dziwne, bo w m.in. tym zadaniu kazali [sugerowali by] opierać się na liczbie e >.<
Przykład jest dobrze przepisany, sprawdzałem kilka razy

[Premislav]

To źle sugerowali, ponieważ tego przykładu nie można zrobić w oparciu o liczbę \(\displaystyle{ e}\) (można gdzieś ją na siłę wepchnąć, ale to w żaden sposób nie ułatwi rozwiązania).

[Janusz Tracz]

Można też tak:

\(\displaystyle{ 0\le \frac{n^2+2}{2n^2+1}= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \frac{3}{2n^2+1} \right) \le } \frac{1}{2}}\)

Wobec czego:

\(\displaystyle{ 0 \le \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1}\right)^{n^2} \le \frac{1}{2^{n^2}} \rightarrow 0}\)

[Premislav]

Janusz Tracz, jakimże to sposobem
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \frac{3}{2n^2+1} \right) \le } \frac{1}{2}}\)?
Trzeba to trochę poprawić. Moja sugestia była taka, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{2n^2+1}=\frac 1 2}\), więc dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy
np. \(\displaystyle{ 0< \frac{n^2+2}{2n^2+1}<\frac 2 3}\) (w miejsce \(\displaystyle{ \frac 2 3}\) można wstawić dowolną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, 1\right)}\)).