Liczenie granicy funkcji

[r3vis3d]

Cześć,
Jak mogę policzyć granicę tego czegoś?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ex ^{2}-1 }{\tg 2x ^{2} }}\)

[Janusz Tracz]

Tam na pewno jest \(\displaystyle{ ex^2-1}\) czy może miało być \(\displaystyle{ e^{x^2}-1}\) ?

[r3vis3d]

Tak jak niestety napisałem, \(\displaystyle{ ex ^{2}}\)

[Premislav]

Jeżeli tam by było \(\displaystyle{ ex^2}\), to nie ma czego liczyć, licznik dąży do \(\displaystyle{ -1}\), zaś mianownik do \(\displaystyle{ 0}\) (po wartościach dodatnich, bo w \(\displaystyle{ left( 0, frac pi 2
ight)}\) tangens jest dodatni), więc wynik to po prostu \(\displaystyle{ -infty}\).

Napiszę dla \(\displaystyle{ e^{x^2}}\), tak ma chyba najwięcej sensu.
\(\displaystyle{ lim_{x o 0} frac{e^{x^2}-1}{x^2}=1\ lim_{x o 0} frac{2x^2}{ g(2x^2)}=1\ frac{e^{x^2}-1}{ g(2x^2)}= frac 1 2cdot frac{e^{x^2}-1}{x^2} cdot frac{2x^2}{ g(2x^2)}ldots}\)
Ogólnie polecam zapoznać się z tzw. granicami specjalnymi:
90940.htm#p337909

[Janusz Tracz]

W takim razie wystarczy podstawić.

\(\displaystyle{ \frac{ex^2-1}{\tg 2x^2} \rightarrow \frac{-1}{0^{+}}=- \infty}\)

jeśli jednak...:    

\(\displaystyle{ \frac{e^{x^2}-1}{\tg 2x^2}=\frac{e^{x^2}-1}{x^2} \cdot \frac{2x^2}{\tg 2x^2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{e^{x^2}-1}{x^2} \cdot \frac{\cos 2x^2}{ \frac{\sin 2x^2}{2x^2} } \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}}\)

Dlatego bo zachodzą znane wzory na granice "specjalne"

-- 17 paź 2017, o 19:42 --

Dobra... Premislav, wyprzedził mnie jak zawsze To dopisze regułą DH gdyby się nie znało granic specjalnych.

jeśli jednak 2:    

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x ^{2}}-1 }{\tg 2x ^{2} }=\lim_{ x\to 0} \frac{2xe^{x^2} }{4x \frac{1}{ \cdot \cos 2x^2} }= \frac{1}{2}}\)

EDIT: Poprawa latex-a.

[a4karo]

Dobra... Premislav, wyprzedził mnie jak zawsze To dopisze regułą DH gdyby się nie znało granic specjalnych.

jeśli jednak 2:    

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ex ^{2}-1 }{\tg 2x ^{2} }=\lim_{ x\to 0} \frac{2xe^{x^2} }{4x \frac{1}{ \cdot \cos 2x^2} }= \frac{1}{2}}\)

A można ją tutaj stosować (założenia!!!)?

[Janusz Tracz]

Założenia są spełnione zrobiłem głupi błąd w przepisywaniu po pochodnej z drugiej granicy widać że chodziło o taką granicę

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x ^{2}}-1 }{\tg 2x ^{2} }=\lim_{ x\to 0} \frac{2xe^{x^2} }{4x \frac{1}{ \cdot \cos 2x^2} }= \frac{1}{2}}\)