\(\displaystyle{ (6-x^2y^2)dx+x^2dy=0}\)
Nie wiem jak to ugryźć. Z góry dziękuję za pomoc.
równanie różniczkowe
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: równanie różniczkowe
Spróbuj poszukać czynnika całkującego. Najprościej zacząć od szukania czynnika zależącego tylko od jednej zmiennej (\(\displaystyle{ x}\) bądź \(\displaystyle{ y}\)). Jest chyba o tym artykuł na wiki, na pewno znajdziesz też jakieś uczelniane skrypty.
równanie różniczkowe
Szukałem według przepisów z podręcznika Krysicki & Włodarski, niestety bez sukcesów. Oczywiście nie twierdzę, że nie istnieje, tylko że ja nie potrafię go znaleźć. Podstawienia typu \(\displaystyle{ u=y/x}\) lub odwrotnie też nigdzie mnie nie zaprowadziły.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: równanie różniczkowe
Też zaczął bym od szukania czynnika całkującego jeśli okazało by się to trudne to zauważ że to jest równanie . By wyznaczyć ogólne rozwiązanie tego typu równania potrzebować będziesz rozwiązania szczególnego, znajdziesz je dobierając odpowiednio parametr \(\displaystyle{ a}\) i zakładając że rozwiązanie szczególne ma postać \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\).
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_Riccatiego
Re: równanie różniczkowe
a może poradzicie co zrobić z takim przykładem
\(\displaystyle{ (y/x+3x^2)dx+(1+x^3/y)dy=0}\)
\(\displaystyle{ (y/x+3x^2)dx+(1+x^3/y)dy=0}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ (6-x^2y^2)dx+x^2dy=0\\
x^2\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+6-x^2y^2=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{6}{x^2}-y^2=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{y}{x}\left(\frac{6}{xy}-xy\right)=0\\
u=xy\\
y=\frac{u}{x}\\
y'=\frac{u'x-u}{x^2}\\
y'=\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}\\
\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}+\frac{u}{x^2}\left(\frac{6}{u}-u\right)=0\\}\)
i mamy rozdzielone zmienne
Z tym równaniem można podobnie
\(\displaystyle{ (\frac{y}{x}+3x^2)dx+(1+\frac{x^3}{y})dy=0\\
(1+\frac{x^3}{y})dy=-(\frac{y}{x}+3x^2)dx\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{\frac{y}{x}+3x^2}{1+\frac{x^3}{y}}\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{y}{x}\frac{1+3\frac{x^3}{y}}{1+\frac{x^3}{y}}\\
u=\frac{x^3}{y}\\}\)-- 9 listopada 2017, 22:06 --Jeżeli nadal chcemy szukać czynników całkujących to dla pierwszego równania są one postaci
\(\displaystyle{ \mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{1}{x\left( 6-x^2y^2-xy\right) }\\
\mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{x^4}{\left( xy-2\right)^2 }}\)
Co do drugiego równania to znalazłem tylko jeden czynnik całkujący postaci
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\frac{1}{2y+3x^3}}\)
x^2\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+6-x^2y^2=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{6}{x^2}-y^2=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{y}{x}\left(\frac{6}{xy}-xy\right)=0\\
u=xy\\
y=\frac{u}{x}\\
y'=\frac{u'x-u}{x^2}\\
y'=\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}\\
\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}+\frac{u}{x^2}\left(\frac{6}{u}-u\right)=0\\}\)
i mamy rozdzielone zmienne
Z tym równaniem można podobnie
\(\displaystyle{ (\frac{y}{x}+3x^2)dx+(1+\frac{x^3}{y})dy=0\\
(1+\frac{x^3}{y})dy=-(\frac{y}{x}+3x^2)dx\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{\frac{y}{x}+3x^2}{1+\frac{x^3}{y}}\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{y}{x}\frac{1+3\frac{x^3}{y}}{1+\frac{x^3}{y}}\\
u=\frac{x^3}{y}\\}\)-- 9 listopada 2017, 22:06 --Jeżeli nadal chcemy szukać czynników całkujących to dla pierwszego równania są one postaci
\(\displaystyle{ \mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{1}{x\left( 6-x^2y^2-xy\right) }\\
\mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{x^4}{\left( xy-2\right)^2 }}\)
Co do drugiego równania to znalazłem tylko jeden czynnik całkujący postaci
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\frac{1}{2y+3x^3}}\)