pochodna z potęgą

[tymczasowy97]

\(\displaystyle{ f(x)=2^{x^2}}\)

Oblicz pochodną.
Kompletnie nie wiem, co tutaj trzeba, proszę o pomoc.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left( 2^{x^2}\right)' =2^{x^2}\ln 2 \cdot \left( x^2\right)'=...}\)

[tymczasowy97]

Skąd ten logarytm naturalny?

[kerajs]

Sorry, zapomniałem odpowiedzieć.
Pewnie wiesz że
\(\displaystyle{ a=e ^{\ln a}}\) dla \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\}}\)
stąd
\(\displaystyle{ a^x=e^{\ln a^x}=e^{x\ln a}}\)
\(\displaystyle{ \left( a^x\right)'_x =\left( e^{x\ln a}\right)'_x =e^{x\ln a} \cdot \left( x\ln a\right)'_x =e^{x\ln a} \cdot \ln a=a^x \ln a}\)
Ten wzór pewnie masz wśród wzorów podstawowych jako: \(\displaystyle{ \left( a^x\right)'_x =a^x \ln a}\)
Tu wygodnej było działać takim wzorkiem:
\(\displaystyle{ \left( a^{f(x)}\right)'_x =\left( e^{f(x)\ln a}\right)'_x =e^{f(x)\ln a} \cdot \left( f(x)\ln a\right)'_x =\\=e^{f(x)\ln a} \cdot \ln a \cdot f_x'(x)=a^{f(x)} \ln a\cdot f_x'(x)}\)