Suma uogólniona łańcucha łańcuchów jest łańcuchem

[adda16]

Rodzina A jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ X,Y \in A}\) zachodzi \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\) lub \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\).

Jak udowodnić, że suma łańcucha łańcuchów jest łańcuchem?

[Jan Kraszewski]

Z definicji łańcucha.

Niech \(\displaystyle{ A_i}\) będzie łańcuchem dla \(\displaystyle{ i\in I}\) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j\in I}\) mamy \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) lub \(\displaystyle{ A_j \subseteq A_i}\). Masz pokazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcup_{i\in I}A_i}\) jest łańcuchem. Sprawdź, czy ten zbiór spełnia definicję łańcucha.

JK

[adda16]

Niech \(\displaystyle{ A_i}\) będzie łańcuchem dla \(\displaystyle{ i\in I}\) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j\in I}\) mamy \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) lub \(\displaystyle{ A_j \subseteq A_i}\). Następnie niech \(\displaystyle{ B_k}\) będzie łańcuchem dla \(\displaystyle{ k \in K}\) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ k,l \in K}\) mamy \(\displaystyle{ B_k \subseteq B_l}\) lub \(\displaystyle{ B_l \subseteq B_k}\). Niech \(\displaystyle{ B_k \in A_i}\). \(\displaystyle{ A_i}\) jest więc łańcuchem łańcuchów. Skoro łańcuch łańcuchów jest łańcuchem to jego suma \(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcup_{i\in I}A_i}\) także jest łańcuchem, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j\in I}\) oraz \(\displaystyle{ k,l\in K}\) \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) lub \(\displaystyle{ A_j \subseteq A_i}\).

Wyszło masło maślane.. Nie wiem jak to sprawnie i logicznie ująć.

[Jan Kraszewski]

Niech \(\displaystyle{ A_i}\) będzie łańcuchem dla \(\displaystyle{ i\in I}\) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j\in I}\) mamy \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) lub \(\displaystyle{ A_j \subseteq A_i}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcup_{i\in I}A_i}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest łańcuchem.

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ X,Y\in \mathcal{A}=\bigcup_{i\in I}A_i}\). Wtedy istnieją takie \(\displaystyle{ i,j\in I}\), że \(\displaystyle{ X\in A_i, Y\in A_j}\). Wiemy z założeń, że \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) lub \(\displaystyle{ A_j \subseteq A_i}\). Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\). Wówczas \(\displaystyle{ X, Y\in A_j}\). Ale z założenia \(\displaystyle{ A_j}\) jest łańcuchem, zatem \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\) lub \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\), co należało dowieść.

JK

[Jakub Gurak]

Ja to zadanie rozumiem inaczej. Rodzina jest łańcuchem, hm- ogólniej pojęcie łańcucha można rozpatrywać w zbiorach uporządkowanych.Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym, to podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest łańcuchem, gdy dowolne dwa elementy \(\displaystyle{ A}\) są porównywalne, względem \(\displaystyle{ \le}\). To jest bardziej znana definicja łańcucha, a przytoczona z zadania definicja łańcucha jest jej szczególnym przypadkiem. Jeśli mamy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), to jest ona uporządkowana przez inkluzję, i jeśli mamy podrodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \mathbb{X}}\), (czyli pewną rodzinę zbiorów), to zgodnie z przytoczoną przeze mnie definicją, jest ona łańcuchem, gdy dowolne dwa zbiory rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) są porównywalne, względem \(\displaystyle{ \subset}\), co jest zgodne z definicją adda16.

Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le\right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\):

\(\displaystyle{ B=\left\{ C \subset A\ \Bigl| \ \ C \hbox{ jest łańcuchem w } \left( A, \le\right)\right\}}\). Czyli \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem wszystkich łańcuchów w \(\displaystyle{ \left( A, \le\right)}\). Tą rodzinę łańcuchów porządkujemy inkluzją.

Dalej, ustalmy dowolny łańcuch \(\displaystyle{ D \subset B}\), w \(\displaystyle{ \left( B, \subset \right)}\); czyli zbiór złożony z łańcuchów, który jest łańcuchem pod względem inkluzji. To wtedy \(\displaystyle{ \bigcup D}\), rodziny łańcuchów, liniowo uporządkowanych przez inkluzję będzie łańcuchem, względem \(\displaystyle{ \le}\). Myślę, że tak to zadanie można rozumieć.

Prosty dowód:

Niech \(\displaystyle{ x,y\in \bigcup D}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ x\in X}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ X\in D}\); oraz, że \(\displaystyle{ y\in Y}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ Y\in D}\). Zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\) z rodziny \(\displaystyle{ D}\), są porównywalne pod względem inkluzji, czyli \(\displaystyle{ X\subset Y}\) lub \(\displaystyle{ Y \subset X}\). W pierwszym przypadku otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x,y\in Y}\), a w drugim \(\displaystyle{ x,y \in X}\). Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\) z rodziny \(\displaystyle{ D}\) są łańcuchami (w sensie \(\displaystyle{ \le}\) ), wnioskujemy, że elementy \(\displaystyle{ x,y}\) są porównywalne. Pokazaliśmy, że dowolne dwa elementy \(\displaystyle{ \bigcup D}\) są porównywalne, względem \(\displaystyle{ \le}\), czyli \(\displaystyle{ \bigcup D}\) jest łańcuchem, i \(\displaystyle{ \bigcup D \in B}\).\(\displaystyle{ \square}\)

[Jan Kraszewski]

Ja to zadanie rozumiem inaczej.

Rozumiesz je w istocie tak samo...

Myślę, że tak to zadanie można rozumieć.

Można. Tyle, że nie o to chodziło w przypadku addy16 - skoro podała używaną przez siebie definicję, to znaczy, że zadanie ma sformułowane w warunkach tej definicji.

Zauważ, że dowód, który napisałeś, to kopia mojego dowodu - uogólniając zadanie nie uzyskałeś nic poza tym, że wszystko jest opisane w bardziej ogólnych terminach. Dlatego czasem lepiej podać definicję w wersji uproszczonej bądź zawężonej, bo to pozwala pozbyć się części formalizmu i ułatwia sprawdzenie, czy student jest w stanie zauważyć istotę rzeczy.

JK