Rozwiązanie równania

[wiktor363]

Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania dla parametru \(\displaystyle{ a \neq 0}}\) należącego do zbioru liczb zespolonych \(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\).

Nie wiem jak zrobić to zadanie próbowałem rozbijać \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) na składowe, ale i tak nie widzę rozwiązania.

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ a\in\CC \setminus \left\{ 0\right\}}\) wtedy:

\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\)

\(\displaystyle{ i\left( x-iy\right)+x^2+y^2-i\left( x+iy\right)+a\left( x+iy\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)

herezja:    

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)

czyli \(\displaystyle{ x^2+ax=0 \Rightarrow x=0 \vee x=-a}\).

Więc wynikiem jest \(\displaystyle{ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=-a}\). Tyle że \(\displaystyle{ z\in\CC \setminus \RR}\) dlatego \(\displaystyle{ z=0}\) odpada jak również każda liczba \(\displaystyle{ a}\) tak że \(\displaystyle{ \Im a=0}\)

[wiktor363]

NIe jestem pewien czy ta część jest poprawna...

\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)

Przecież \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb zespolonych, więc trzeba raczej zapisać \(\displaystyle{ Im(ax)+Im(iay)=0}\) Mógłby ktoś to skomentować?

[Janusz Tracz]

Masz rację. Zapomniałem o założeniu, przepraszam.-- 17 paź 2017, o 20:54 --Jeśli zapiszemy \(\displaystyle{ a=\Re a+i\Im a}\) to można to przepisać w takiej postaci.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+2y-y \cdot \Im a+x \cdot \Re a=0 \\ y \cdot \Re a+x \cdot \Im a=0 \end{cases}}\)

Wydzielając z 2 równania \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ x}\) i podstawiając do 1 dostaniesz równie kwadratowe.

[kerajs]

\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0\\
az=-\left| z\right| ^{2}-2Im(z)}\)
Aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
1)
\(\displaystyle{ k=-1\\
....}\)

2)
\(\displaystyle{ k \neq -1\\
k(x^2+y^2)+x^2+y^2+2y=0\\
(k+1)x^2+(k+1)\left[ (y+ \frac{1}{k+1} )^2- \frac{1}{(k+1)^2} \right]=0\\
x^2+(y+ \frac{1}{k+1})^2= \frac{1}{(k+1)^2}}\)

[wiktor363]

Czyli dobrze rozumiem, że rozwiązaniem równania będą takie z, że \(\displaystyle{ (\overline{z} = -a \wedge Im(z)=0) \vee z=0}\)
Świetne rozwiązanie! Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\).

[kerajs]

1)
Dla \(\displaystyle{ a \neq k\overline{z}}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\)
2)
Dla \(\displaystyle{ a =-\overline{z}}\) rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista
3)
Dla \(\displaystyle{ a =k\overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ -1,0\right\}}\) jest nieskończenie wiele rozwiązań zespolonych leżących na okręgu wskazanym w poprzednim poscie.


PS

Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić...

Niech iloczyn \(\displaystyle{ pq}\) dwóch liczb zespolonych daje rzeczywisty wynik. Zastanów się jaka musi być zależność między ich argumentami (kątami).