równanie wykładnicze

[zwyklymoment]

Witam. Mam problem z tym równaniem:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2+ \sqrt{3} } \right) ^{x}+ \left( \sqrt{2- \sqrt{3} } \right) ^{x} =4}\)

[Janusz Tracz]

Zauważ że możesz to napisać tak \(\displaystyle{ \left( 2+ \sqrt{3} \right)^{ \frac{x}{2} } +\left( 2- \sqrt{3} \right)^{ \frac{x}{2} }=4}\).

I teraz jeszcze zobacz że \(\displaystyle{ 2- \sqrt{3}= \frac{1}{2+ \sqrt{3}}}\) dlatego:

\(\displaystyle{ \left( 2+ \sqrt{3} \right)^{ \frac{x}{2} } +\left( \frac{1}{2+ \sqrt{3}} \right)^{ \frac{x}{2} }=4}\)

\(\displaystyle{ \left( 2+ \sqrt{3} \right)^{ \frac{x}{2} } + \frac{1}{\left( 2+ \sqrt{3}\right)^{ \frac{x}{2} }} =4}\)

Podstaw teraz \(\displaystyle{ t=\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{ \frac{x}{2} }}\) i ładnie powinno wyjść i uprości się do równania kwadratowego.

[kinia7]

\(\displaystyle{ x=2}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ x=2}\)

To nie wszystkie rozwiązania.

[kinia7]

Ponieważ zauważyłeś, że:

I teraz jeszcze zobacz że \(\displaystyle{ 2- \sqrt{3}= \frac{1}{2+ \sqrt{3}}}\)

więc będzie również \(\displaystyle{ x=-2}\)