Supremum i infimum zbiorów

[Blomex]

Niech \(\displaystyle{ -A:=-1 \cdot A}\)

Pokaż, że dla dowolnego niepustego ograniczonego z góry zbioru \(\displaystyle{ A}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ -\sup (A) = \inf (-A)}\)

Niech \(\displaystyle{ x=\sup A}\)
wówczas z definicji:
\(\displaystyle{ \forall_{a\in\mathbb{A}}}\) zachodzi \(\displaystyle{ x \ge a}\)
Wobec czego \(\displaystyle{ \forall_{-a\in\mathbb{-A}}}\) zachodzi \(\displaystyle{ -x \le -a}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow -x}\) jest ograniczeniem dolnym\(\displaystyle{ -A}\)

Czy na razie jest poprawnie?
Jak teraz pokazać, że \(\displaystyle{ -x}\) jest największym spośród ograniczeń dolnych?

[Jakub Gurak]

Normalnie, wziąć dowolne ograniczenie dolne zbioru \(\displaystyle{ -A}\), i pokazać, że \(\displaystyle{ -x}\) jest od niego większe lub równe. W dowodzie wykorzystać, że \(\displaystyle{ x}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), czyli najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Rozumiem, że \(\displaystyle{ -A:=-1 \cdot A=\left\{ -x\Bigl | \ \ x\in A\right\}}\)